Пять раз в глаз
В конце 2020 года в вузах и школах было проведено несколько мероприятий, перенесенных с … марта. Одним из них было «празднование» дня числа пи. По этому поводу 8 декабря я прочитал удаленную лекцию в Силезском университете, и эта статья представляет собой резюме лекции. Вся вечеринка началась в 9.42, а моя лекция назначена на 10.28. Откуда такая точность? Все просто: 3 умножить на пи — это примерно 9,42, а π во 2-й степени — примерно 9,88, а час 9 в 88-й степени — это 10 в 28-й…
Обычай чтить это число, выражающая отношение длины окружности к ее диаметру и иногда называемая постоянной Архимеда (а также в немецкоязычных культурах), происходит из США (смотрите также: ). 3.14 марта “по-американски” в 22:22, отсюда и идея. Польский эквивалент может быть 7 июля, потому что дробь 14/XNUMX хорошо аппроксимирует π, что уже знал… Архимед. Что ж, XNUMX марта — лучшее время для сопутствующих мероприятий.
Эти три и четырнадцать сотых — одно из немногих математических посланий, оставшихся нам со школы на всю жизнь. Все знают, что это значит «пять раз в глаз«. Оно настолько укоренилось в языке, что его трудно выразить по-другому и столь же изящно. Когда я спросил в автомастерской, сколько может стоить ремонт, механик задумался и сказал: «пять раз около восьмисот злотых». Я решил воспользоваться ситуацией. «Вы имеете в виду грубое приближение?». Механик, наверное, подумал, что я не расслышал, потому повторил: «Я точно не знаю, сколько, но пять раз на глаз будет 800».
.
О чем это? В правописании до Второй мировой войны «нет» использовалось вместе, и я оставил его там. Мы не имеем здесь дело с излишне высокопарной поэзией, хотя мне нравится мысль, что «золотой корабль качает счастье». Спросите учащихся: что означает эта мысль? Но ценность этого текста в другом. Количество букв в следующих словах — это цифры расширения пи. Давайте посмотрим:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284
В 1596 году голландский ученый немецкого происхождения Людольф ван Сеулен вычислил значение числа пи с точностью до 35 знаков после запятой. Потом эти фигуры были выгравированы на его могиле. Она посвятила стихотворение числу пи и нашему нобелевскому лауреату, Вислава Шимборска. Шимборская была очарована непериодичностью этого числа и тем, что с вероятностью 1 там будет встречаться каждая последовательность цифр, например наш номер телефона. В то время как первое свойство присуще каждому иррациональному числу (которое мы должны помнить еще со школы), второе — интересный математический факт, который трудно доказать. Вы даже можете найти приложения, которые предлагают: дайте мне свой номер телефона, и я скажу вам, где он находится в пи.
Где округлость, там и сон. Если у нас есть круглое озеро, то прогулка вокруг него в 1,57 раза дольше, чем вплавь. Конечно, это не значит, что мы будем плыть в полтора-два раза медленнее, чем пройдем. Я разделил мировой рекорд по плаванию на 100 метров с мировым рекордом на 100 метров. Интересно, что у мужчин и у женщин результат практически одинаков и составляет 4,9. Мы плаваем в 5 раз медленнее, чем бежим. Гребля совсем другая – а вот интересная задача. Там достаточно длинный сюжет.
Спасаясь от преследующего Злодея, красивый и благородный Добрый отплыл к озеру. Злодей бежит вдоль берега и ждет, когда она заставит его приземлиться. Конечно, он бегает быстрее, чем Добрый гребет, а при ровном беге Добрый быстрее. Так что единственный шанс для Зла – достать Добро у берега – точный выстрел из револьвера не вариант, т.к. у Добро есть ценная информация, которую хочет знать Зло.
Гуд придерживается следующей стратегии. Он плывет по озеру, постепенно приближаясь к берегу, но стараясь всегда быть на противоположной стороне от Злого, который хаотично бегает то влево, то вправо. Это показано на рисунке. Пусть начальная позиция Зла будет Z1, а Добре – середина озера. Когда Zly перемещается в Z1, Добро доплывёт до Д.1когда Bad находится в Z2, Хорошо на D2. Оно будет течь зигзагообразно, но с соблюдением правила: как можно дальше от Z. Однако по мере удаления от центра озера Добро должно двигаться все большими и большими кругами и в какой-то момент он не может удержаться принцип «быть по ту сторону Зла». Тогда он изо всех сил греб к берегу, надеясь, что Лукавый не обойдет озеро. Удастся ли Добру?
Ответ зависит от того, насколько быстро Хороший может грести по отношению к стоимости ног Плохого. Предположим, что Плохой человек бежит со скоростью, в с раз превышающей скорость Хорошего на озере. Следовательно, самый большой круг, по которому Добро может грести, чтобы противостоять Злу, имеет радиус, в раз меньший, чем радиус озера. Итак, на чертеже мы имеем. В точке W наш Добрый начинает грести к берегу. Это должно идти
со скоростью
Ему нужно время.
Злой гоняется за всеми своими лучшими ногами. Он должен пройти половину круга, на что у него уйдут секунды или минуты, в зависимости от выбранных единиц. Если это больше, чем счастливый конец:
Хороший уйдёт. Простые счета показывают, что это должно быть. Если Плохой человек бежит быстрее, чем в 4,14 раза быстрее, чем Хороший, это плохо кончается. И здесь также вмешивается наше число пи.
То, что круглое, красиво. Давайте посмотрим на фото трех декоративных тарелок – они у меня после родителей. Какова площадь криволинейного треугольника между ними? Это простая задача; ответ на той же фотографии. Нас не удивляет, что оно появляется в формуле — ведь где округлость, там и пи.
Я использовал возможно незнакомое слово:. Так называется число пи в немецкоязычной культуре, и все это благодаря голландцам (фактически немец, живший в Нидерландах – национальность в то время не имела значения), Лудольф из Сеулены. В 1596 г. он вычислил 35 цифр его разложения до десятичной. Этот рекорд продержался до 1853 г., когда Уильям Резерфорд насчитал 440 мест. Рекордсменом по ручным расчетам является (наверное навсегда) Уильям Шенкс, который после многих лет работы опубликовал (в 1873 г.) расширение до 702 цифр. Только в 1946 году последние 180 цифр были признаны неверными, однако так и осталось. 527 правильно. Было интересно найти сам баг. Вскоре после публикации результата Шанкса заподозрили, что «что-то не так» — семерок в разработке подозрительно мало. Еще недоказанная (декабрь 2020 г.) гипотеза гласит, что все цифры должны появляться с одинаковой частотой. Это побудило Д. Т. Фергюсона пересмотреть расчеты Шенкса и найти ошибку «ученика»!
Позже людям помогли калькуляторы и компьютеры. Текущий (декабрь 2020 г.) рекордсмен – Тимоти Малликан (50 триллионов десятичных знаков). Расчеты заняли… 303 дня. Поиграем: сколько места заняло бы это число, напечатанное в стандартной книжке. До недавнего времени печатная «сторона» текста составляла 1800 знаков (30 строк по 60 строк). Давайте сократим число символов и поля страницы, впихнем 5000 символов на страницу и напечатаем книги по 50 страниц. Таким образом, XNUMX триллионов символов заняли бы десять миллионов книг. Неплохо, правда?
Вопрос в том, в чем смысл такой борьбы? С чисто экономической точки зрения, почему налогоплательщик должен платить за такие «развлечения» математиков? Ответ не сложный. Первый, из Сеулена изобрел заготовки для расчетов, затем полезно для логарифмических вычислений. Если бы ему сказали: пожалуйста, стройте заготовки, он бы ответил: зачем? Аналогично команда:. Как известно, это открытие было не совсем случайным, а все же побочным продуктом исследований другого типа.
Во-вторых, давайте прочитаем, что он пишет Тимоти Малликан. Вот репродукция начала его творчества. Профессор Малликан занимается кибербезопасностью, а числа пи — это такое мелкое хобби, на котором он просто тестировал свою новую систему кибербезопасности.
А что 3,14159 в инженерии хоть отбавляй, это другое дело. Проведем простой расчет. Юпитер удален от Солнца на 4,774 Тм (тераметр = 1012 метров). Чтобы вычислить длину окружности такого круга с таким радиусом с абсурдной точностью в 1 миллиметр, достаточно было бы взять π = 3,1415926535897932.
На следующем фото показана четверть круга из кирпичиков Lego. Я использовал колодки 1774, и это было число пи примерно 3,08. Не лучший, но чего ожидать? Круг нельзя составить из квадратов.
Точно. Число π известно тем, что квадрат круга – математическая задача, которая ждала своего решения более 2000 лет – с греческих времен. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга?
Термин «квадрат круга» проник и в разговорный язык как символ чего-то невозможного. Я нажимаю клавишу, чтобы спросить, это что-то вроде попытки заполнить траншею вражды, разделяющую граждан нашей прекрасной страны? Но я уже избегаю этой темы, потому что наверное только в математике чувствую.
И снова то же самое – решение задачи о квадратуре круга появилось не таким образом, чтобы автор решения, Чарльз Линдеманн, в 1882 году он был настроен и, наконец, преуспел. В какой-то степени да, но это был результат атаки с широкого фронта. Математики узнали, что числа бывают разных видов. Не только целые числа, рациональные (то есть дроби) и иррациональные. Неизмеримость также может быть лучше и хуже. Мы, возможно, помним из школы, что иррациональным числом является √2 — число, выражающее отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны. Как и любое иррациональное число, оно имеет неопределенное расширение. Напомню, что периодическое разложение — это свойство рациональных чисел, т.е. частных целых чисел:
Здесь бесконечно повторяется последовательность чисел 142857. Для √2 этого не произойдет – это часть иррациональности. Но вы можете:
(фракция продолжается вечно). Мы видим здесь закономерность, но другого типа. Пи даже не такое обычное. Его нельзя получить, решая алгебраическое уравнение — то есть такое, в котором нет ни корня квадратного, ни логарифма, ни тригонометрических функций. Это уже показывает, что оно неконструируемо — рисование кругов приводит к квадратичным функциям, а линий — прямых — к уравнениям первой степени.
Возможно, я отклонился от основного сюжета. Только развитие всей математики позволило вернуться к истокам — к древней прекрасной математике мыслителей, создавших для нас европейскую культуру мысли, столь сомнительную сегодня некоторыми.
Из множества репрезентативных паттернов я выбрал два. Первый из них мы связываем с фамилией Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716).
Но он был известен (модель, а не Лейбниц) средневековому индуистскому ученому Мадхаве из Сангамаграммы (1350-1425). Передача информации в то время была невелика – интернет-соединения часто глючили, а аккумуляторов для мобильных телефонов не было (потому что электронику еще не изобрели!). Формула красивая, но бесполезна для расчетов. Из ста ингредиентов получается «всего» 3,15159.
он немного лучше wzór Viète’a (тот, что из квадратных уравнений), и его формулу легко запрограммировать, потому что следующий член в произведении — это квадратный корень из предыдущего плюс два.
Мы знаем, что круг круглый. Можно сказать, что это 100-процентный раунд. Математик спросит: может ли что-то быть не на 1 процентов круглым? По-видимому, это оксюморон, фраза, содержащая скрытое противоречие, такое как, например, горячий лед. Но попробуем измерить, насколько круглыми могут быть фигуры. Оказывается, хорошая мера дается следующей формулой, в которой S — площадь, а L — длина окружности фигуры. Выясним, что круг действительно круглый, что сигма равна 6. Площадь круга – это длина окружности. Вставляем… и видим, что правильно. Насколько круглый квадрат? Расчеты столь же просты, я даже не буду их приводить. Возьмем правильный шестиугольник, вписанный в окружность с радиусом. Периметр, очевидно, равен XNUMX.
Поляк
А обычный шестигранник? Его длина окружности равна 6, а площадь
Итак, у нас есть
что примерно равно 0,952. Шестиугольник «круглый» более чем на 95%.
Интересный результат получается при расчете округлости спортивного стадиона. Согласно правилам ИААФ, прямые и кривые должны иметь длину 40 метров, хотя допускаются отклонения. Я помню, что стадион Бислет в Осло был узким и длинным. Пишу “была”, потому что даже бегала на ней (на любителя!), но более XNUMX лет назад. Давайте посмотрим:
Если дуга радиусом 100 метров, радиус этой дуги составляет метры. Площадь газона составляет квадратные метры, а площадь за его пределами (там, где есть трамплины) в сумме составляет квадратные метры. Подставим это в формулу:
Так имеет ли округлость спортивного стадиона какое-то отношение к равностороннему треугольнику? Потому что высота равностороннего треугольника во столько же раз больше стороны. Это случайное совпадение чисел, но это приятно. Мне это нравится. А читатели?
Что ж, хорошо, что круглое, хотя некоторые могут возразить, потому что вирус, поражающий всех нас, круглый. По крайней мере, так рисуют.
