Живопись, музыка, математика

Этот текст представляет собой итог чтения для молодых людей – стипендиатов Национального детского фонда, собравшихся в исследовательском лагере в Сероцке (5 мая 2018 г.). Он был создан (текст, а не Фонд!) при довольно странных обстоятельствах.

Никакого музыкального образования я не получил, но классическая музыка мне понравилась довольно рано. Я слышал, что теоретические основы музыки — это чистая математика, но меня это не сильно интересовало.

Только в очень зрелом возрасте я начал читать учебники по гармонии и академические учебники по музыковедению. Так что я прошел то, что дети в начальной музыкальной школе – но с позиции взрослого математика. Поэтому мне удалось увидеть в теории музыки то, чего профессиональные музыканты вообще не видят и не понимают (хотя, откровенно говоря, им это и не нужно для артистизма, которого они добиваются).

Строительство так называемого пятый круг напоминает порядок Gaussa использованный им при построении обычного семнадцатого. Зависимости в этом круге (например, что тоника мажорной гаммы является субдоминантой следующей) напомнили мне структуру таблицы объемов и площади поверхности сферы в пространствах любой размерности (площадь поверхности ​​сфера измерения n, умноженная на 2πr, дает объем сферы в измерении +2). Мне также было легко понять, что математически означает, что терция является гармоническим делением квинты. И так далее. Но пусть это не обескураживает читателя.

Вещи, о которых я говорю, музыкантам хорошо известны – из практики. Признаюсь, я был удивлен, насколько сложно им понять математическую основу. Они, конечно, были удивлены, что я так плохо усвоил основные принципы гармонии.

Фото 1. Иллюстрация теоремы Пифагора. В варианте для самых младших школьников: можно ли использовать два квадрата сделай один?

Музыка красивая. я не имею ввиду т.н. подсознательная музыка, любимая клабберами (а я знаю, что пишу, потому что была однажды), но та, что приходит к нам интеллектуальным путем, – прежде всего европейская классическая музыка, основанная на устоявшейся веками гармонии. Вопрос о том, как измерить красоту, всегда волновал нас (людей) и продолжает волновать сегодня. Это вопрос, который упоминается в гуманитарных науках как «проблема».

В математике «задача» — это проблема, которую нужно решить. В гуманитарных науках наоборот – здесь проблема как бы по определению неразрешима (можно в лучшем случае поставить по-другому): так мы имеем “проблему души человеческой”, “зло и добро”, «идеальная организация общественной жизни» и многие другие, в том числе просто красивые.

Ситуация была более ясной до начала XNUMX века, то есть до того момента, когда человечество стало отходить от античности как образца культуры. До тех пор предполагалось, что «красота» существует объективно, и мы ищем ее, как клад на острове. Потихоньку (мы, человечество!) стали понимать, что этого сокровища не существует, что, может быть, оно прекрасно… сам поиск.

Так что, хотя трудно определить, что такое «красота», встречая ее, мы не сомневаемся: «Это она!». Мы также должны согласиться с тем, что все эти вопросы относительны. Я уже писал о том, что есть люди, которым нравится шум. Видимо есть и те, кто не видит ничего особенного в концертах Баха, Бетховена и Шопена. Прекрасны Гималаи, Горче и венгерские плоские равнины. Теннис — скучная игра для большинства людей (как и футбол для меня). Но для тех, кто хоть немного поиграл, теннис — прекрасная интеллектуальная игра.

Точно, я воспользуюсь двусмысленностью глагола «играть». Европейская музыка возникла из идеи Пифагор и его философская школа (XNUMX век до н.э.). В сегодняшней терминологии Пифагор был бы беженцем. Он пришел с греческого острова Самос, откуда бежал от тирании Поликрата, и основал свою философскую школу (сегодня ее назвали бы сектой) на юге Италии, в Кротоне, в сегодняшней Калабрии.

Имя Пифагора прежде всего связано с теорема о сумме квадратов. Он считается самым известным в математике. Пусть так и останется, хотя Пифагор не открыл этой зависимости в прямоугольном треугольнике и даже не дал первого доказательства. Однако в истории европейской мысли она сыграла роль во сто крат более важную. Говоря современным языком, он задавался вопросом, чем человек отличается от животных. Он даже пытался получить грант Брюсселя на свои исследования, но по формальным причинам заявка была отклонена. Написано было, что не было города подобного Брюсселю, и Европа – не континент, и не союз государств, а прекрасная тирская принцесса, дочь Агенора, впоследствии критская царица, похищенная и соблазненная Зевсом…

Шутки есть шутки. цвести Пифагорейская школа это было примерно в 580 г. до н.э.. В то время не были известны не только радио, автомобили, сотовые телефоны, кола, картофель, кофе, чай и сигареты! Иисус должен был родиться через пять веков, а Мешко Первый через 1500 лет. Рим еще не достиг имперской власти.

От музыки к геометрии или наоборот

На уроках математики в школе мы рисуем тела в параллельной перспективе. Это удобный инженерный способ. Но мы видим все в конвергентной перспективе. Мы не боимся садиться в поезд, даже когда видим, что пути сужаются к горизонту. Мы знаем из опыта, что движущийся поезд их «раздавит».

Перспектива сходится и имеет недостатки, особенно вытекающие из «селфи» — перерисовка и преувеличение переднего плана. При фотографировании зданий есть эффект обрушения колонн: нет ФОТ. 2 у нас создается впечатление, что дом падает назад. Ничего не поделаешь — если мы хотим уместить три измерения в два — всегда что-то пойдет не так.

Фото 2. “Разваливающийся” дом – совсем не лачуга.

Все это благодаря геометрии, а точнее одной особенности центральной проекции. Мы можем хорошо видеть это на ФОТ. 3. Геометрический центр красной линии находится не на полпути к лесу. На языке геометрии это можно выразить так: середина отрезка не инвариант центральной проекции.

Фото 3. Пучок и материя… инвариант центральной проекции (фото: Тадеуш Гурановский).

Художники эпохи Возрождения обнаружили, что уже в первом веке нашей эры Папп показал, что такое инвариант. На прямой выбираем две силовые точки, пусть назовем их и… Что не меняется при проектировании среднего отрезка, так это частное двух частных. Вы можете понять это так. Посмотрим на рис. 1. На нем у нас есть «синий» отрезок.

Рис. 1. Математика иногда играет злую шутку…

Точка делит его в соотношении 4:2, то есть два к одному. Ясно. Есть ли другая точка, которая делит этот отрезок в таком же отношении? Здесь математика играет злые шутки. Если мы напишем соответствующее уравнение и решим его, мы получим еще одну, другую точку: точку. Можно ли, однако, сказать, что он «делит эпизод»? Может и нет, но дело в том, что отношение расстояния этой точки до концов отрезка 12:6, то есть 2, то же, что и для точки. Затем мы говорим, что я делю эпизод гармонично (старый, забытый термин: «делить в крайнем и среднем отношении»). “Гармоничный” – значит, у нас есть какая-то связь с искусством, прежде всего с музыкой.

Рис. 2. Прелесть среднего броска. Меняются отношения расстояний, т.н. двоичный. Если A, B, C, D являются точками на прямой в таком порядке, то отношение есть отношение доли BA/BC и доли DA/DB. Ибо у нас есть такие точки, которые образуют «гармоническую четверку».

Музыка… молотков

Где музыка? Но это музыка! Чтобы понять это, вернемся к Пифагору! Согласно легенде, Пифагор создал свою музыкальную гамму, прислушиваясь к звукам, издаваемым молотами в горне. Он пришел к выводу, что это можно выразить в числах, в соответствии с общим убеждением, что все происходит из числовых отношений. Это прекрасно описал о. Юзеф Тишнер в своей «Философии горца» (издательство «Знак», 1997). Пифагора есть конкретный горец Ендрек Ваксмундски. Он основал школу. Первая школа в мире, то есть (как пишет отец Тишнер) в Подхале. Отец Тишнер пытается воспроизвести в своем письме горский диалект, и это дает следующий эффект:

Как было, так и было, по крайней мере Пифагор заметил, что укорачивание звенящей струны вдвое дает «тот же звук, только выше». Так мы слышим, так воспринимает наше ухо. Мы воспринимаем звук с удвоенной частотой как «тот же самый, только выше» — аналогия с figurami podobnymi: это “те же” фигуры, только в другом масштабе. Давайте посмотрим на рыс. 3 – это известно в математике построение «четвертой гармоники». Делим линию гармонично так, чтобы была третья точка. Что это с музыкальной точки зрения? Читателям, окончившим начальную музыкальную школу, хочу напомнить: это гармоническое деление октавы, а значит, и квинты. Вибрирующая часть струны отмечена красным цветом внизу. Пифагор укоротил струну на треть (АК). Прозвучала пятая! Откуда «пятерка» в названии? От того, что две трети струны вибрируют (и поэтому издают звук). Из известных сегодня законов физики мы знаем, что частота такого звука составляет 3/2 звука всей струны.

Рис. 3. Терция – гармоническое деление квинты. На этой диаграмме (построение Дезаргом полного четырехугольника) мы также видим самое известное трезвучие: тонику до-мажорной гаммы. Ты знал это, Читатель, с детства. Я издеваюсь над тобой? Нет, конечно нет. Спойте песенку о котенке, который забрался на прямое ограждение и начал попеременно поднимать и опускать веки с частотой около 2 Гц. Что делает этот котенок? Петь! «И-подмигивает-га». Это тоническое трезвучие гаммы до мажор – мать всех гамм.

У Гёте (да, у того немецкого поэта, чье самое известное произведение, написанное в течение нескольких десятилетий, — это, конечно, «Фауст») было несколько удачных высказываний о математиках. Один из них сказал, что математики похожи на любовников: дайте ему одну посылку, и он выведет из нее все знания о вас. От одной пятой зависимости, от одного гармонического деления Пифагор (точнее его преемники) вывел всю европейскую музыку, с Бахом, Бетховеном и Брамсом – статья про три М, так вот три знаменитых музыканта на Б. Битлз здесь? да. Их музыка — это «по-прежнему» классическая музыка, давайте послушаем «Yesterday», «All You Need is Love» и даже потрясающую «Yellow Submarine», которую моему поколению нравилось включать. Имеет ли современная поп-музыка что-то общее с классической? Я не знаю. Я пытался слушать, но это было слишком громко…

Рис. 4. Здесь видно, как музыкальная красота сочетается с математической. Слева тонический треугольник до мажорной гаммы – «матери всех гамм». Тоника находится на вершине под углом 45 градусов. Интервал CE — большая терция, EG — малая терция, GC — квинта. Это соответствует делению длины окружности вписанного круга в отношении 4:3:5. Тонический треугольник КЭГ имеет углы 45, 60 и 75 градусов (пропорция 3:4:5) и вписан в один из красивейших математических треугольников – половину равностороннего треугольника. Также интересны синие треугольники (равносторонний, равнобедренный прямоугольный и третий – с углами 75, 75, 30 градусов). Справа мы видим тонику параллельной гаммы — ля минор. Гамма ля минор возникает из до мажор поворотом на 210 градусов, но тонические трезвучия не возникают друг из друга путем вращения, а симметричны (треугольники CEG и ACE имеют противоположную ориентацию). Все это вписано в равносторонний треугольник.

Задача (для тех математиков, которые ничего не понимают в музыке). Принимая KL = LM = MK = 1, вычислить радиус окружностей, вписанных в треугольники PKM и PLM. Найдите масштабы подобия треугольников CLE, KLM и CEM. Найдите координаты точек Жергонна треугольников KPM и LMB. Нарисуйте линию Эйлера.

Я скоро вернусь к музыке и математике.