Твердые тела: известные, неизвестные, несуществующие и наводящие на размышления
Содержание
25-27 октября 2019 года в Сельпии прошла традиционная конференция Ассоциации математического образования – объединения, пытающегося улучшить преподавание математики в нашей стране, особенно после проведенных школьных реформ. В конференции обычно принимают участие около 150 человек — преподаватели и научные сотрудники вузов. В этом году ситуация хуже, чем обычно. Правительству удалось убедить большую часть населения в том, что учителя недостойны тех денег, которые тратятся на них из государственного бюджета. Ах, сколько бы это было спасено, если бы не учителя! Может быть, мы вообще перестали бы им платить, потому что учитель должен быть призванием… Они все равно придут работать.
Ну, это пока о том, что за окном. Что касается конференции. Приятно видеть людей, которые просто хотят, хотят, чтобы их ученики были образованными и порядочными. Эта статья является кратким изложением лекции, которую я должен был прочесть в Сельпии – в красивом районе на границе Свентокшиского и Лодзинского воеводств.
Вселенная октаэдров
Все знают, что такое солид. Можно сказать, что это просто пространственная фигура. В просторечии это может быть неправильно: комок соли, комок угля, но в архитектуре речь идет об «интересном комочке» некоего здания. В нем всегда есть некая «математическость», потому что даже если это будет «хаос», то он спланирован по какому-то шаблону.
Да-да — оно не происходит от случайности. Эти понятия не следует путать. Случайные процессы подчиняются удивительно строгим законам, и, в свою очередь, даже многократно повторяющийся простой процесс приведет к хаотичной структуре. Перетасовка карт и замешивание теста — одинаково хорошие примеры.
В простейших твердых телах содержится много красивой геометрии — многогранники. Как следует из названия, многогранники многогранны. Стены многоугольники. Итак, у многогранника много углов: плоскостных и пространственных.
Может ли он иметь только один угол? Точнее: один плоский угол и один пространственный угол?
Таких тел всего пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Если бы я написал эту статью двадцать лет назад, мне пришлось бы включить в нее рисунки этих комочков. И сейчас? Ты знаешь лучше меня, юный читатель, что, если ты в трамвае, лежишь на пляже или потягиваешь нездоровый гамбургер с нездоровой кока-колой, все у тебя есть в пределах досягаемости твоего смартфона. Также изображения правильных многогранников. Знаешь что? Пожалуйста, доставьте мне удовольствие и посмотрите туда! Посмотрите на эти многогранники, и я сэкономлю немного места. Знаете ли вы, что эти глыбы уже были обнаружены греками, почти 2500 лет назад?
Математически самым простым телом является тетраэдр, но самым популярным является куб. Просто, но интересно. Что делает его таким популярным, так часто используемым в строительстве, отделке, транспорте и так далее? На это нет однозначного ответа, но самое главное, что строить прямоугольные параллелепипеды несложно. Равномерно расположенные кубики заполняют пространство. Другие правильные многогранники мало используются в технике.
1. Более светлый квадрат справа — след усеченного угла октаэдра (источник: Википедия, страницы «Октаэдр», «Яйцо» и «Усеченный октаэдр»).
Одной из самых интересных форм является так называемая усеченный октаэдр. Любой, кто видел октаэдр, может теперь представить, что мы срезаем его углы крест-накрест, как верхушку яйца всмятку. Вот что получается (1).
Задача. Стройте любые твердые тела, используя только шестиугольники и квадраты.
Меня всегда удивляло, как древние греки пришли к своим геометрическим истинам. Эксперты говорят, что твердые тела (особенно обычные) были даны как. Может быть. Вероятно, они не узнали усеченный восьмиугольник. Только в 1842 году был открыт кристаллизующийся таким образом минерал.
Теперь надо в Википедию заглянуть…
Кристалл называется фотозитом, а его структура (На2, Са, Мг)3-4[(Да, Эл)24O48] х 32 ч2O. Имя названо в честь французского геолога и вулканолога, которым он был. Бартоломео Фожас де Сен-Фон (1741-1819).
Вы можете подсчитать, что усеченный октаэдр имеет 24 вершины, 36 ребер и 14 граней. Подсчитаем: 24–36 + 14 = 2. Сравним эти числа с аналогичными для тетраэдра:
4 вершины, 6 ребер, 4 грани: 4–6 + 4 = 2 и куб: 8–12 + 6 = 2.
Всегда одно и то же. Количество граней плюс количество вершин на 2 больше, чем количество ребер. Он обнаружил это Леонард Эйлер (1707-1783). Всегда, для любого выпуклого многогранника.
Усеченный октаэдр это комок, который в некотором роде пугает меня. Ну а можно заполнить им все пространство — прямо как кубики, без зазоров и излишеств. Когда человечество будет вынуждено покинуть Землю, возможно, мы построим такие космические города.
Октаэдры — чтобы уйти от невыносимой кубической симметрии. Усеченные октаэдры — потому что их легче построить из повторяющихся сегментов. Будут воздвигнуты огромные решетчатые сооружения с длинными туннелями, проходящими по трем пространственным направлениям мира. Немного страшно, правда? Во всяком случае, именно так сегодня должны себя чувствовать жители или сотрудники дубайских супернебоскребов. Правда, не знаю, не был и не собираюсь.
2. Первая фаза построения октаэдра, усеченного из блоков РЕКО. Ставим рядом две «короны». Тогда мы совпадаем. Останется шесть квадратов.
Разговоры о четырнадцати
Раз уж я за голос, то сейчас говорю о цифре 14. Я когда-то собирал диковинки и жалко, что они пропадут.
Забавно — помню из ранней юности фото из альбома начала XNUMX-х, когда Варшава была еще морем щебня с островками новых поместий. Мокотув был относительно мало поврежден. На пересечении улиц Неподлеглосци и Раковецка повернул налево. трамвай № 14.
В подписи говорилось, что скоро здесь будет метро… (и действительно, это было сорок лет спустя). Я уже шестьдесят лет очень люблю варшавский трамвай № 14. Анонсирую очередную статью о 56 троллейбусном маршруте.
Klasyczny итальянский сонет в нем четырнадцать строк (рифмы абба, абба, кдк, дкд) — вспомним, например, «Крымские сонеты» студента математического факультета Вильнюсского университета (он не сделал математической карьеры и не слышал).
Уильям Шекспир он написал 154 = 14 × 11 сонетов (они имели несколько иную форму, чем итальянская классика). После четырнадцать Зосе Хорешковне и Юлии Капулетти было много лет, когда они появились на страницах литературы, но связь с Днем святого Валентина популярна в англо-саксонской культуре (14 февраля) случайно.
3. Это не растение. Представляет собой башню в виде усеченного восьмигранника.
4. Подпространственные туннели в структуре из усеченных октаэдров.
Обращаясь к математике, отметим, что 14 — это сумма квадратов первых трех натуральных чисел: 12+22+32= 14. Это показано в пирамидах на рис. 5 и 6.
5. Четырнадцать как «пирамидальная» сумма квадратов первых трех натуральных чисел.
6. Та же «пирамидальная» сумма квадратов, но немного по-другому.
Вы видите, какое интересное число 14. Итак, вперед!
Задача. Постройте блок с четырнадцатью сторонами. Одну мы уже освоили: усеченный октаэдр, кристалл фотозита. Объявляю два конкурса: на самую красивую форму и на самую «смешную», что бы это ни значило.
7. Четырнадцать способов разделить шестиугольник.
Нажми здесь, потянись там…
8. Выход 45-минутного занятия на конференции Ассоциации математического образования.
Результаты вышеперечисленных конкурсов, проведенных в рамках конференции, превзошли все ожидания (8). Обсуждение заняло бы четверть объема нашего ежемесячного журнала. Где-то сзади, среди созданных многогранников, лежал комок, который я предложил назвать Кусок их. Реформы образования (9). Почему?
В последовательности.
Давайте сделаем красивый самородок. Сначала делаем основу и боковые стенки — обкладываем шестиугольник попеременно пятиугольниками и квадратами (10). Складываем их и получаем «корону» — если бы мы использовали только пятиугольники, у нас получился бы полудодекаэдр. Мы легко можем вычислить координаты вершин этой «короны». Соответствующие формулы есть в конце статьи — если кто-то захочет проверить мои счета.
Коронка может быть закрыта различными способами. Минималистичный способ выглядит следующим образом:
точки,, являются вершинами равностороннего треугольника со стороной 2. После вставки этого треугольника в качестве «вершины» мы увидим еще три «дырки»:, и — все в форме равносторонних трапеций со сторонами 2,1,1,1, XNUMX. Каждая из этих трапеций составлена из четырех равносторонних треугольников.
9. Совокупность их. Реформы образования — название, предложенное автором статьи.
10. Венец «снизу» (= диаграмма Шлегеля) и его сетка.
11. «Корона» после приклеивания.
Доклеямы.
Вот что получилось — аккуратно элеваэдр (12). Он состоит из правильного шестиугольника, трех квадратов, трех правильных пятиугольников (сторона 1), одного равностороннего треугольника со стороной 2 и трех равнобедренных трапеций со сторонами 2,1,1,1.
Я представляю, как мог бы выглядеть дом на Луне, где жили Пиркс и Лангнер (Станислав Лем, «Условный рефлекс»). Станислав Лем (1921-2006) были удостоены Нобелевской премии по литературе. Однако, вероятно, его неправильно поняли и трудно перевести на неславянские языки. Наши бытовые, обыденные проблемы он прятал под своим «космическим» скафандром.
12. Два снимка дома пилота Пиркса. На Луне не нужна крутая крыша.
Так я назову описываемую конструкцию Коттедж Пиркса. Солидный, эргономичный дом, приклеенный к лунной скале (как в процитированном рассказе).
Пятиугольное основание, плоский треугольный навес и косые трапециевидные световые люки-окна наверху. Разнообразный цокольный этаж — чередование квадратных и пятиугольных стен. Может быть, не так, как в дворянских особняках, но все это источает ностальгию, которую трудно описать.
13. Сеть лоцманской рубки «Пиркс» и сеть с пристроенным чердаком в виде правильного тетраэдра. После такой пристройки дом выглядит как чайник с носиком, чай в китайском стиле.
Координаты «короны» на строительстве коттеджа Пиркса (10, 11).
Дом Пиркса его легко преобразовать в нужный тетраэдр, склеив правильный тетраэдр (13) с основанием, где оно является серединой отрезка и серединой отрезка. В этой пристройке будет отличное место для радиотелескопа, нацеленного на Землю, нашу единственную планету. Вы можете добавить носик (маленький или большой) на крышу, и это очень весело!
Вернемся теперь к нашей конференции в Сельпии. Группа из нескольких человек решила отделать корону по-другому я иллюстр. 11. Вместо длинного и неудобоваримого описания приложу сетку и фото того, что из этого получилось (14). Пожалуйста, попробуйте сами, с кубиками или картоном. Его немного сложно собрать, но если его вдавить, получится интересный комок (9).
14. Сеть Брылы им. Реформы образования. Сам корпус, видимый выше, на рис. 9.
А теперь «ядро» статьи: такого блока не существует!
Как это не существует? Ведь мы видим ее модель.
Да, но пластик может немного растянуться. Согнись здесь, согнись там.
Математическое доказательство отсутствия такого твердого тела простое, хотя и требует некоторых вычислений. Я выберу один из углов (9, 15). Точка — это расстояние от , на единицу и от точки на корень из 2.
Позволять. Находим расстояния до точек от ,,,. Окажется, что соответствующая система уравнений противоречива. Нет такого пункта. Комок существует только благодаря умным растяжкам. Если присмотреться, то видно, что это «растянутый квадрат».
15. Доказательство несуществования.
А теперь, читатели, согласны ли вы с тем, чтобы удостоить эту шишку именем «Компьютер реформы образования»? И то, и другое красиво выглядит на бумаге, но на практике не складывается.
Вопрос бывшему министру Анне Залевской: как вы себя чувствуете в Брюсселе? Это приятное чувство, так что испорти все и убегай, верно? Это старая большевистская тактика.
Готовьтесь к неизвестности
Я оставил очень важный момент на конец. Внимательный читатель того или иного политического направления трезво спросит: зачем учить детей тому, о чем я здесь говорил? Не этому ли учить и только тому, что пригодится в жизни?
Мой дедушка был сапожником. Отлично. Он хорошо изучил свое ремесло; Люди со всей округи приходили за его обувью. Дедушка знал, что у него хорошая профессия и что у него есть гарантированная поддержка на долгие годы. Мир был так стабилен…
Она закончилась для моего деда в 1914 году. Он пережил войну, но вернулся с туберкулезом. В Неподлегльске мой отец начал с нуля.
Сегодня перед нами студенты, более того – наши дети, и мы даже не знаем, как называются профессии, которыми они будут заниматься в ближайшем будущем. Что им понадобится?
«Что им пригодится в жизни»? Мы не знаем. И мы должны подготовить их к этому. И учителя именно этим и занимаются, а не — как многие убеждены в пропагандистском утверждении правящей коалиции — просто берут деньги из бюджета. В стихотворении Юлиана Тувима «Моей дочери в Закопане», осужденном сегодня по идеологическим мотивам, есть фрагмент:
«Поклонись незнакомым сельским учителям, которые Пыхтят по снегу в ясли в лютые морозы».
Я кланяюсь.
Смотрите также:
