Статья ни о чем

В детстве меня увлекла история, наверное, известная многим читателям, про «суп на гвозде». Моя бабушка (XNUMX века рождения) рассказывала мне это в версии “Казак пришел и попросил воды, потому что у него есть гвоздь и он будет варить на нем суп”. Любопытная хозяйка дала ему кастрюлю с водой… и мы знаем, что было дальше: “суп должен быть солёным, дайтье, бабушка, посолить”, потом он помыл мясо “для улучшения вкуса” и так далее. В конце концов он выбросил «вареный» гвоздь.

Так вот эта статья должна была быть о пустоте космоса – а это по поводу посадки европейского аппарата на комету 67P/Чурюмова-Герасименко 12 ноября 2014. Но пока писала поддалась давней привычке , я все-таки математик. Как это с Нравитьсяс Нуль по математике?

Как существует Ничто?

Нельзя сказать, что Ничто не существует. Он существует по крайней мере как философское, математическое, религиозное и совершенно разговорное понятие. Ноль — обычное число, ноль градусов на градуснике — тоже температура, а нулевой баланс в банке — неприятное, но обычное явление. Заметим, что нулевого года в летоисчислении нет, и это потому, что ноль был введен в математику только в позднем средневековье, позже летосчисления, предложенного монахом Дионисием (XNUMX век).

Как ни странно, мы действительно могли бы обойтись без этого нуля и, следовательно, без отрицательных чисел. В одном из учебников по логике я нашла упражнение: нарисуй или скажи, как ты представляешь отсутствие рыбы. Удивительно, не так ли? Любой может нарисовать рыбу, но ее отсутствие?

Теперь коротко курс по основам математики. Предоставление привилегии существования пустому множеству, отмеченному перечеркнутым кружком ∅, является необходимой процедурой, аналогичной добавлению нуля к множеству чисел. Пустое множество — это единственное множество, не содержащее ни одного элемента. Такие коллекции:

Но не существует двух разных пустых множеств. Пустое множество входит в каждое другое множество:

Действительно, правила математической логики говорят, что множество А содержится во множестве В тогда и только тогда, когда предложение:

это влечет за собой

В случае пустого множества ∅ предложение всегда ложно, и, таким образом, по законам логики импликация в целом верна. Все вытекает из лжи (“вот я вырасту кактус, если ты перейдешь в следующий класс…”). Итак, поскольку пустое множество содержится в каждом из других, то, если бы они были двумя различными, каждое из них содержалось бы в другом. Однако если два множества содержатся друг в друге, они равны. Вот почему: есть только один пустой набор!

Постулат о существовании пустого множества не противоречит никаким законам математики, так почему бы не воплотить его в жизнь? Философский принцип, называемыйбритва Оккама» Приказ исключить ненужные понятия, но в самый раз понятие пустого множества очень полезно в математике. Обратите внимание, что пустое множество имеет размерность -1 (минус один) — нульмерные элементы — это точки и их разреженные системы, одномерные элементы — линии, а об очень сложных математических элементах с фрактальной размерностью мы говорили в главе на фракталах.

Интересно, что все здание математики: числа, цифры, функции, операторы, интегралы, дифференциалы, уравнения… можно вывести из одного понятия – пустого множества! Достаточно предположить, что есть пустой набор, вновь созданные элементы можно объединить в наборы, чтобы иметь возможность построить всю математику. Так построил натуральные числа немецкий логик Готтлоб Фреге. Нуль — это класс множеств, элементы которых находятся во взаимном соответствии с элементами пустого множества. Один — это класс множеств, элементы которых находятся во взаимном соответствии с элементами множества, единственным элементом которого является пустое множество. Два — это класс множеств, элементы которых взаимно однозначны с элементами множества, состоящего из пустого множества и множества, единственным элементом которого является пустое множество… и так далее. На первый взгляд это кажется чем-то очень сложным, но на самом деле это не так.

Синяя расстилалась надо мной,

пахло вереском и пахло мятой…

Войцех Млынарский, «Девушка с урожая»

Трудно представить

Ничто трудно представить. В рассказе Станислава Лема «Как был спасен мир» конструктор Трурль построил машину, которая делала бы все, начиная с буквы. Когда Клапауций приказал его построить Nic, машина начала удалять из мира различные предметы – с конечной целью убрать все. К тому времени, когда перепуганный Клапауций остановил машину, галеры, тисы, висячие, писаки, рифмы, венчики, пуфы, точильщики, вертелы, филидроны и морозы исчезли из мира навсегда. И действительно, они исчезли навсегда…

Юзеф Тишнер очень хорошо написал о ничто в своей «Истории горской философии». Во время прошлых каникул я решил испытать это небытие, а именно, я отправился в торфяные болота между Новым Таргом и Яблонкой в ​​Подхале. Этот район даже называют Пустачией. Едешь, едешь, а дорога не убывает – конечно в нашем скромном, польском масштабе. Однажды я проехал на автобусе по канадской провинции Саскачеван. За окном было кукурузное поле. Я вздремнул полчаса. Когда я проснулся, мы ехали по одному и тому же кукурузному полю… Но постойте, это пустота? В каком-то смысле отсутствие изменений — это просто пустота.

Мы привыкли к постоянному наличию вокруг нас различных предметов, и от Что-то вы не можете убежать даже с закрытыми глазами. «Я мыслю, следовательно, существую», — сказал Декарт. Если я уже что-то подумал, значит, я есть, а значит, есть хоть что-то в мире (именно Я). Существует ли то, что я думал? Это можно обсуждать, но в современной квантовой механике известен принцип Гейзенберга: каждое наблюдение возмущает состояние наблюдаемого объекта. Пока мы его не наблюдаем Nic его не существует, и когда мы начинаем смотреть, объект перестает быть Нравиться и это становится Что-то. Это доводит до абсурда антропный принцип: нет смысла спрашивать, каким был бы мир, если бы нас не было. Мир таков, каким он нам кажется. Возможно, другие существа увидят Землю угловатой?

Позитрон (такой положительный электрон) — это дыра в пространстве, «нет электрона». В процессе аннигиляции электрон прыгает в эту дырку и “ничего не происходит” – нет ни дырки, ни электрона. Пропущу множество шуток про дырочки в швейцарском сыре (“чем больше у меня есть, тем меньше там…”). Знаменитый композитор Джон Кейдж уже настолько использовал свои идеи, что сочинил (?) музыкальное произведение (?), в котором оркестр сидит неподвижно 4 минуты 33 секунды и, конечно же, ничего не играет. «Четыре минуты и тридцать три секунды — это двести семьдесят три, 273, а минус 273 градуса — это абсолютный ноль, на котором останавливается всякое движение», — объяснял композитор (?).

Отфильтровать до нуля, ничего, ник, ник, ничего, ноль!

Ежи в фильме Анджея Вайды «С годами,

дни идут »

Как насчет Все?

Многие люди (от простых хлеборобов до выдающихся философов) задавались вопросом о феномене существования. В математике дело обстоит просто: есть то, что непротиворечиво.

Она исчезла в краевых полях

В васильках, бурьянах и львиных пастях…

Ну, такие вещи случаются

Особенно в жатву, и во время жатвы

особенно…

Войцех Млынарский, «Девушка с урожая»

Все находится в другой крайности от Ничто. В математике известно, что Все не существует. Просто слишком неточное представление о том, что его существование было бы свободно от противоречий. Это можно понять на примере старого парадокса: «Если Бог всемогущ, то создать камень, чтобы подобрать?» Математическое доказательство того, что множества всех множеств быть не может, основано на теореме певица-Берштейн, что говорит о том, что «бесконечное число» (математически: количественное числительное) множества всех членов данного множества больше, чем количество элементов этого множества.

Если множество имеет элементы, то оно имеет 2ⁿ подмножества; например, когда = 3 и набор состоит из {1, 2, 3}, тогда существуют следующие подмножества:

• три двухэлементных множества: в каждом из них отсутствует одно из чисел 1, 2, 3,
• один пустой набор,
• три одноэлементных множества,
• весь набор {1,2,3}

– всего восемь, 2³А читателям, недавно окончившим школу, хотелось бы напомнить соответствующую формулу:

Каждый из ньютоновских символов в этой формуле определяет количество наборов k-элементов в наборе -элементов.

В математике биномиальные коэффициенты появляются во многих других местах, например, в интересных формулах сокращенного умножения:

и из их точной формы гораздо более интересна их взаимозависимость.

Трудно понять, что – что касается логики и математики – есть, а что Все нет. Аргументы в пользу небытия Всего те же, что и у Винни-Пуха, который вежливо спросил своего гостя, Тигра, любят ли вообще Тигры мед, желуди и чертополох? «Тиграм все нравится», — ответил тот, из которого Кубусь сделал вывод, что если им все нравится, значит, они тоже любят спать на полу, следовательно, он, Винни, может вернуться в постель.

Другой аргумент Парадокс Рассела. В городе есть парикмахер, который бреет всех мужчин, которые не бреются сами. Он сам бреется? Оба ответа противоречат выдвинутому условию, что забивают тех, и только тех, кто этого не делает сам.

В поисках коллекции всех коллекций

В заключение я приведу умное, но наиболее математическое доказательство того, что не существует множества всех множеств (не путать с ним).

Во-первых, мы покажем, что для любого непустого множества X невозможно найти взаимоуникальную функцию, которая отображает это множество в множество его подмножеств P (X). Итак, предположим, что эта функция существует. Обозначим его традиционным f. Что такое f от x? Это коллекция. Принадлежит ли x f из x? Это неизвестно. Либо ты должен, либо нет. Но для некоторого х оно все же должно быть таким, чтобы оно не принадлежало f от х. Что ж, тогда рассмотрим множество всех x, для которых x не принадлежит f(x). Обозначим его (это множество) через А. Ему соответствует некоторый элемент а множества X. Принадлежит ли а А? Предположим, вы должны. Но А есть множество, содержащее только те элементы из х, которые не принадлежат f(x)… Ну, может быть, оно не принадлежит А? Но множество А содержит все элементы этого свойства, а значит и А. Конец доказательства.

Следовательно, если бы существовало множество всех множеств, оно само было бы подмножеством самого себя, что невозможно согласно предыдущим рассуждениям.

Уф, не думаю, что многие читатели ознакомились с этим доказательством. Скорее, я привел его, чтобы показать, чем должны были заниматься математики в конце девятнадцатого века, когда они приступили к изучению основ собственной науки. Оказалось, что проблемы кроются там, где их никто не ожидал. Более того, для всей математики эти рассуждения об основаниях не имеют значения: что бы ни происходило в подвалах – весь корпус математики стоит на твердой скале.

Между тем, на высшей ступени…

Отметим еще одну мораль из рассказов Станислава Лема. В одном из своих путешествий Ийон Тичи достиг планеты, жители которой после долгой эволюции наконец достигли высшей ступени развития. Они все сильны, они могут все, у них все под рукой… и они ничего не делают. Они ложатся на песок и пересыпают его между пальцами. «Если все возможно, оно того не стоит», — объясняют потрясенному Иджону. Да не случится этого с нашей европейской цивилизацией…