Премия Абеля

Мало кто из читателей скажет что-нибудь об имени Авель. Нет, речь идет не о несчастном юноше, убитом собственным братом Каином. Я имею в виду норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802–1829) и премию, названную в его честь, которая только что была присуждена (16 марта 2016 г.) Норвежской академией наук и письма сэру Эндрю Дж. Уайлсу. Это компенсирует математикам то, что они опущены Альфредом Нобелем в рейтинге категорий самой важной мировой научной премии.

Хотя математики ценят т.н. Медаль Филдса (официально считается высшим лавром в своей области), его связывают всего с 15 тысячами. (не миллионы, тысячи!) канадских долларов, пока победитель Nagrody Abela кладет в карман чек на 6 миллионов норвежских крон (около 750 8 евро). Нобелевские лауреаты получают 865 миллионов шведских крон, или около XNUMX тысяч. евро – меньше, чем у теннисистов за победу в большом турнире. Есть несколько вероятных причин, по которым Альфред Нобель не включил математиков в число возможных лауреатов премии. Завещание Нобеля касалось «изобретений и открытий», приносящих наибольшую пользу человечеству, но, вероятно, не теоретических, а практических. Математика не считалась наукой, которая могла бы принести практическую пользу человечеству.

Dlaczego Abel

Кто был Нильс Хенрик Абель i czym się wsławił? Musiał być genialny, bo choć zmarł na gruźlicę w wieku zaledwie 27 lat, to zdążył zaistnieć na stałe w matematyce. Otóż już w gimnazjum uczą nas rozwiązywać równania; najpierw pierwszego stopnia, potem kwadratowe i niekiedy sześcienne. Już czterysta lat temu uczeni włoscy dawali sobie radę z уравнение четвертой степенидаже тот, который выглядит невинным:

и из которых один из элементов

Да, это могли сделать ученые уже в XNUMX веке. Нетрудно догадаться, что учитывались уравнения высших степеней. И ничего. За двести лет никому не удалось. Нильс Абель также потерпел неудачу. И тут он понял, что… может быть, это вообще невозможно. Это можно доказать невозможность решения такого уравнения – а точнее, выражая решение простыми арифметическими формулами.

Это было первое из 2 тысяч. лет (!) рассуждений такого типа: что-то нельзя доказать, что-то нельзя сделать. Монополия на такие доказательства принадлежит математике — практические науки все больше ломают барьеры. В 1888 г. председатель Патентной комиссии США заявил, что «в будущем следует ожидать немного изобретений, потому что уже изобретено почти все». Сегодня нам трудно даже посмеяться над этим… А в математике – однажды доказано, оно потеряно. Это невозможно сделать.

История делит открытие, которое я описал, между Нильса Абела i Эвариста Галуа, obaj jako „wybrańcy bogów” zmarli przed trzydziestką, niedoceniani przez współczesnych. Niels Abel jest jednym z niewielu matematyków norweskich o szerokiej sławie (właściwie dwóch, drugi to Софус Ли, 1842-1899 – nazwiska nie brzmią skandynawsko, ale obydwaj byli rdzennymi Norwegami).

Норвежцы не в ладах со шведами – к сожалению, это распространено среди соседних народов. Одним из мотивов учреждения норвежцами Абелевской премии было желание показать своим соотечественникам Альфреда Нобеля: ну пожалуйста, мы не хуже.

Погоня за несуществующим маржинальным входом

Вот вам и Нильс Хенрик Абель. Теперь о лауреате премии, 63-летнем англичанине (живущем в США). Его подвиг в 1993 году можно было сравнить только с восхождением на Эверест, восхождением на Луну или чем-то в этом роде. Кто такой сэр Эндрю Уайлс? Если вы посмотрите на список его публикаций и различные возможные индексы цитирования, он будет хорошим ученым — их тысячи. Тем не менее, он считается одним из величайших математиков. Его исследования относятся к теории чисел и используют отношения с алгебраическая геометрия Ораз теория представлений.

Sławę przyniosło mu rozwiązanie zupełnie nieistotnego z punktu widzenia matematyki problemu, jakim był доказательство Великой теоремы Ферма (kto nie wie, o co chodzi – przypominam niżej). Jednak rzeczywistą wartością było nie samo rozwiązanie, a stworzenie nowej metody badania, która znalazła zastosowanie w rozwiązaniu wielu innych ważnych problemów.

Nie sposób nie zadumać się w tym momencie nad znaczeniem pewnych spraw, nad hierarchią ludzkich osiągnięć. Setki tysięcy młodych ludzi marzy o tym, by kopnąć piłkę lepiej niż inni, dziesiątki tysięcy chcą wystawiać się na himalajskie wiatry, skakać z gumy na moście, wydobywać z siebie dźwięki, które nazywają śpiewem, wpychać w innych niezdrowe jedzenie… albo rozwiązać nikomu niepotrzebne równanie. Pierwszy zdobywca Mount Everestu, сэр Эдвард Хиллари, ответил прямо на вопрос, зачем он туда вошел: “Потому что он есть, потому что Эверест есть!” Автор этих слов всю жизнь был математиком, это был мой рецепт жизни. Единственный правильный! Но давайте покончим с этой философией. Вернемся на здоровый путь математики. К чему вся эта суета вокруг теоремы Ферма?

Я полагаю, мы все знаем, что они из себя представляют простые числа. Наверняка все понимают фразу «разложить на простые множители», особенно когда наш сынишка превращает часы в части.

Пьер де Ферма (1601-1665) był prawnikiem z Tuluzy, ale zajmował się też amatorsko matematyką i to z zupełnie dobrym skutkiem, gdyż przeszedł do historii matematyki jako autor wielu twierdzeń teorii liczb i analizy. Miał zwyczaj umieszczania swych uwag i komentarzy na marginesach czytanych książek. No i właśnie – ok. 1660 r. napisał na jednym z marginesów:

Вот вам и Пьер де Ферма. С его времени (а напомню, что во Франции в то время жил храбрый гасконский дворянин д’Артаньян, а в Польше Анджей Кмицич боролся с Богуславом Радзивиллом) сотни, а может быть, даже тысячи великих и малых математиков пытались безуспешно реконструировать утраченные рассуждения гениального дилетанта. Хотя сегодня мы уверены, что доказательство Ферма не может быть верным, раздражало то, что простой вопрос о том, уравнение хⁿ + уⁿ = гⁿ, n> 2 имеет решения в натуральных числах? może być aż tak trudne.

Wielu z matematyków, którzy przyszli 23 czerwca 1993 r. do pracy, zastało w swojej poczcie elektronicznej (będącej podówczas świeżym, jeszcze ciepłym wynalazkiem) lakoniczną wiadomość , czyli: „Pogłoski z Brytanii: Wiles dowodzi Fermata”. Następnego dnia pisała o tym i prasa codzienna, a ostatni z cyklu wykładów Wilesa zgromadził prasę, telewizję i fotoreporterów – zupełnie jak na konferencji znanego piłkarza.

Kto czytał „Szatana z siódmej klasy” Kornela Makuszyńskiego, ten z pewnością pamięta, czym zajmował się pan Iwo Gąsowski, brat profesora historii, którego system odpytywania uczniów odkrył Adaś Cisowski. Iwo Gąsowski rozwiązywał właśnie równanie Fermata, tracąc czas, majątek i zaniedbując dom:

W końcu pan Iwo zrozumiał, że rachunkami na potęgach nie zapewni szczęścia rodzinie i dał spokój. Makuszyński nie lubił nauki, ale w stosunku do pana Gąsowskiego miał rację. Iwo Gąsowski popełniał jeden zasadniczy błąd. Nie próbował stać się specjalistą w dobrym sensie tego słowa, tylko działał jak amator. Andrew Wiles jest zawodowcem.

Интересна история борьбы с Великой теоремой Ферма. Видно достаточно просто, что их достаточно решить для показателей степени, являющихся простыми числами. Для n = 3 решение было дано в 1770 году. Леонард Эйлер, для n = 5 – Питер Густав Лежен Дирихле (1828) и Адриен Мари Лежандр в 1830 г., а при n = 7 – Габриэль Ламе в 1840 году. В XNUMX веке немецкий математик посвятил большую часть своей энергии проблеме Ферма Эрнст Эдуард Куммер (1810-1893). Choć nie uzyskał ostatecznego sukcesu, dowiódł bardzo wielu szczególnych przypadków i odkrył wiele ważnych własności liczb pierwszych. Duża część współczesnej algebry, arytmetyki teoretycznej i algebraicznej teorii liczb zawdzięcza swoje powstanie pracom Kummera nad twierdzeniem Fermata.

При решении проблемы Ферма методами классической теории чисел они были разбиты на два разных случая сложности: первый, когда мы предполагаем, что произведение xyz взаимно простое с показателем n, и второй, когда число z равно делится на показатель степени. Во втором случае было известно, что до n = 150 000 решений нет, а в первом — до n = 6 000 000 000 (Lehmer, 1981). Это означало, что возможный контрпример в любом случае был бы невозможен: для его получения потребовались бы счета из миллиардов цифр.

Вот вам и старая история. В начале 1988 года в математическом мире было известно, что Ёити Мияока доказал некоторое неравенство, из которого следовало следующее: если только показатель степени n достаточно велик, то уравнение Ферма заведомо не имеет решений. По сравнению с чуть более ранним результатом немца Герда Фалтингса (1983) Результат Мияока означал, что если есть решения, то их (с точки зрения пропорциональности) лишь конечное число. Таким образом, решение проблемы Ферма свелось к перечислению конца многих случаев. К сожалению, сколько их было неизвестно: методы, использованные Мияокой, не позволяли оценить, какое число уже было «в порядке».

Здесь стоит отметить, что в течение многих лет исследования теоремы Ферма велись не в рамках чистой теории чисел, а в рамках алгебраической геометрии, математической дисциплины, производной от алгебры и являющейся расширением декартовой аналитической геометрии, а теперь распространяющейся почти повсеместно: от основ математики (теория топосов в логике), через математический анализ (когомологические методы, функциональные пучки), классическую геометрию, к теоретической физике (векторные расслоения, твисторные пространства, солитоны).

Gdy na honorach nie zależy

Также трудно не грустить о судьбе математика, чей вклад в решение проблемы Ферма весьма значителен. Я говорю об Аракиэле (Suren Jurijewicz Arakiełow, украинский математик с армянскими корнями), который в начале 80-х годов, когда учился на четвертом курсе, создал т.н. теория пересечений на арифметических многообразиях. Такие поверхности полны дыр и незавершенностей, а изгибы на них могут как бы вдруг исчезнуть, а потом снова появиться. Теория пересечения объясняет, как рассчитать степени пересечения таких кривых. Это был основной инструмент, использовавшийся Фальтингсом и Мияокой в ​​работе над проблемой Ферма.

Однажды Аракелова пригласили представить свои результаты на большом математическом конгрессе. Однако, поскольку он критиковал советскую систему, ему было отказано в разрешении на выезд. Вскоре его призвали в армию. Он демонстративно продемонстрировал, что он против военной службы вообще из пацифистских соображений. Как мне стало известно из довольно сомнительных источников, его якобы направили в закрытую психиатрическую больницу, где он провел около года. Как известно, по-видимому, в политических целях советские психиатры выделяли особый тип шизофрении (по-английски от, что означает «вялый», по-русски вялотекущая шизофрения).

Трудно сказать на сто процентов, как это было на самом деле, потому что мои источники информации не очень надежны. Судя по всему, после выхода из госпиталя Аракелов несколько месяцев провел в монастыре в Загорске. В настоящее время живет в Москве с женой и тремя детьми. Он не занимается математикой. Эндрю Уайлс полон почестей и денег.

С точки зрения сытого европейского общества шаг тоже непонятен Григория Перельмана, который в 2002 году решил самую известную топологическую проблему ХХ века,”Гипотеза ПуанариА потом отверг все возможные награды. Сначала упомянутая в начале Филдсовская медаль, которую математики считают эквивалентом Нобелевской премии, а затем награда в один миллион долларов за решение одной из семи важнейших математических задач, оставшихся от двадцатого века. «Другие были лучше, меня не волнуют почести, потому что математика — мое хобби, у меня есть еда и сигареты», — более или менее сказал он изумленному миру.

Sukces po ponad 300 latach

Wielkie twierdzenie Fermata było z pewnością najsłynniejszym i najbardziej efektownym zagadnieniem matematycznym. Otwarte było przez ponad trzysta lat, formułuje się w sposób bardzo jasny i czytelny i było teoretycznie możliwe do zaatakowania przez każdego, a w dobie upowszechnienia komputerów można było stosunkowo łatwo starać się o pobicie kolejnego rekordu oszacowania ewentualnych rozwiązań. W historii matematyki zagadnienie to, poprzez swą inspirującą rolę, odegrało bardzo ważną rolę „kulturotwórczą”, przyczyniając się do powstania całych dyscyplin matematycznych. Jest to o tyle dziwne, że sam problem jest stosunkowo błahy i sama informacja o braku pierwiastków równania Fermata nie wniosła wiele do ogólnej skarbnicy wiedzy matematycznej.

В 1847 году Габриэль Ламе (1795-1870) прочитал лекцию во Французской академии наук, объявив о решении проблемы Ферма. Однако тут же была замечена тонкая ошибка рассуждений. Он основывался на несанкционированном использовании теоремы однозначного разложения. Мы помним со школьной скамьи, что каждое число имеет однозначную разбивку на простые множители, например, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Число 503 не имеет делителей (кроме 1 и самого 503), поэтому распространять его дальше нельзя.

Свойством уникальности распределения обладают целые положительные числа, но среди других числовых множеств им быть не обязательно. Например, для номеров символов

mamy 36 = 2²⋅2³ ,но также

Анализируя доказательство Ламе, Куммер смог доказать справедливость гипотезы Ферма для некоторых показателей числа р. Он назвал их правильными простыми числами. Это был первый важный шаг к полному доказательству. Вокруг теоремы Ферма вырос миф. “А может быть, это еще хуже – может быть, вы даже не можете доказать, что это возможно или невозможно решить?”

Но с 80-х все чувствовали, что цель близка. Помню, Берлинская стена еще стояла, а я уже слушал лекции про “скоро, через мгновение”. Что ж, кто-то должен был быть первым. Эндрю Уайлс завершил свою лекцию английской флегмой: «Я думаю, это доказывает Ферма», и потребовалось некоторое время, прежде чем переполненная аудитория поняла, что произошло: над математической задачей 330-летней давности интенсивно работали сотни математиков из самых полка и бесчисленное количество любителей, таких как Иво Гонсовский из романов Макушинского. А Эндрю Уайлсу выпала честь пожать руку Харальду V, королю Норвегии. Возможно, он не обратил внимания на скромную надбавку к Абелевской премии, порядка нескольких сотен тысяч евро — зачем ему столько денег?