Мы делим пополам
2019.- это не простое число. Сумма цифр 2 + 0 + 1 + 9 = 12, значит, число делится на 3. Простого числа придется ждать долго, до 2027 года. Все же очень немногие читатели этого эпизода доживут до двадцать второй век. Но они, безусловно, такие в этом мире, особенно представительницы прекрасного пола. Я ревную? Не совсем… Но я должен писать о математике. В последнее время я все больше и больше пишу о начальном образовании.
Можно ли разделить круг на две равные половины? Определенно. Как называются части, которые вы получите? Да, полукруг. При разделении круга одной линией (одним разрезом) нужно ли проводить линию через центр круга? да. А может и не надо? Помните, что это один разрез, одна прямая линия.
Обоснуйте свою веру. И что значит “оправдать”? Математическое доказательство отличается от «доказательства» в юридическом смысле. Адвокат должен убедить судью и таким образом заставить Верховный суд признать, что клиент невиновен. Для меня всегда было неприемлемо: насколько судьба подсудимого зависит от красноречия “попугая” (так мы немного пренебрежительно характеризуем адвоката).Вы убеждены, что каждая прямая, проходящая через центр круга, делит их на равные части? Вы убеждены, что для того, чтобы разделить круг на равные части одной прямой, надо провести ее через центр?
Для математика одной веры недостаточно. Доказательство должно быть формальным, а тезис должен быть последней формулой в логической последовательности от предположения. Это довольно сложная концепция, которую практически невозможно реализовать в повседневной жизни. Возможно, так и есть: иски и приговоры, основанные на «математической логике», были бы просто… бездушными. Судя по всему, это происходит все чаще и чаще. Но все, что я хочу, это математика.
Даже в математике формальное доказательство простых вещей может быть проблематичным. Как доказать оба этих убеждения о делении круга? Проще первого то, что каждая прямая, проходящая через центр, делит окружность на две равные части. Можно сказать так: давайте перевернем фигуру из рыс. 1 180 градусов. Затем зеленое поле станет синим, а синее поле станет зеленым. Следовательно, они должны иметь равные квадраты. Если провести линию не через центр, то одно из полей будет явно меньше.
Треугольники и квадраты
Итак, давайте продолжим квадрат. Есть ли у нас то же самое, что:
- каждая прямая, проходящая через центр квадрата, делит его на две равные части?
- Если прямая линия делит квадрат на две равные части, то должна ли она проходить через центр квадрата?
Убеждены ли мы в этом? Ситуация иная, чем для колеса (2-7).
пойдем равносторонний треугольник. Как вы разрезаете его пополам? Легко — просто обрежьте вершину и перпендикулярно основанию (8). Напоминаю, что основанием треугольника может быть любая его сторона, даже наклонная. Разрез проходит через центр треугольника. Всякая ли прямая, проходящая через центр треугольника, делит его пополам?
Нет! Взгляни на рыс. 9. Каждый из цветных треугольников имеет одинаковую площадь (почему?), значит вершина большого треугольника состоит из четырех частей, а нижняя часть из пяти. Соотношение полей не 1:1, а 4:5.
Что, если мы разделим основание, скажем, на четыре части и разделим равносторонний треугольник разрезом через центр и точкой в одной четверти основания? Читатель, ты видишь, что на рыс. 10 площадь “бирюзового” треугольника составляет 9/20 площади всего треугольника? Ты не видишь? Очень жаль, я оставлю это вам как задачу для решения.
Первый вопрос – объясните как это: делю основание на четыре равные части, провожу прямую через точку деления и центр треугольника, а на противоположной стороне получается странное деление, в соотношении 2:3 ? Почему? Вы можете рассчитать это?
А может, ты, Читатель, в этом году выпускник средней школы? Если да, то определите, при каком положении строк отношение полей минимально? Вы не знаете? Я не говорю, что вы должны исправить это прямо сейчас. Я даю вам два часа.
Если вы не решите ее, тогда… ну, в любом случае, удачи вам на выпускных экзаменах в старшей школе. Я вернусь к этой теме.
Проснись независимость
— Ты умеешь удивляться? Это название книги, опубликованной давным-давно «Дельтой», ежемесячным математическим, физико-астрономическим журналом. Взгляните на мир вокруг вас. Да что там реки с песчаным дном (ведь вода должна сразу впитаться!). Почему облака плывут по воздуху? Почему самолет летит? (должна сразу упасть). Почему в горах на вершинах иногда теплее, чем в долинах? Почему в южном полушарии солнце в полдень находится на севере? Почему сумма квадратов гипотенуз равна квадрату гипотенузы? Почему тело как бы теряет в весе при погружении в воду, поскольку воду оно вытесняет?
Вопросы, вопросы, вопросы. Не все из них сразу применимы к повседневной жизни, но рано или поздно будут. Осознаете ли вы важность последнего вопроса (о воде, вытесненной погруженным телом)? Осознав это, пожилой джентльмен бегал голым по городу и кричал: «Эврика, я нашел!» Он не только открыл физический закон, но и доказал, что ювелир царя Херона был фальшивомонетчиком!!! Подробности смотрите в глубинах интернета.
Теперь давайте посмотрим на другие фигуры.
Шестиугольник (11-14). Всякая ли прямая, проходящая через его центр, делит его пополам? Должна ли линия, которая делит шестиугольник пополам, проходить через его центр?
Что о пятиугольник (15, 16)? Октагон (17)? И для эллипсы (18)?
Один из недостатков школьной науки состоит в том, что мы преподаем «по-девятнадцатому веку» — мы даем ученикам задачу и ожидаем, что они ее решат. Что в этом плохого? Ничего – кроме того, что через несколько лет нашему ученику придется не только реагировать на команды, которые он «получил» от кого-то, но и видеть проблемы, формулировать задачи, ориентироваться в той области, куда еще никто не дошел.
Мне столько лет, что я мечтаю о такой стабильности: «Учись, Джон, делай обувь, и будешь работать сапожником всю оставшуюся жизнь». Воспитание как переход в высшую касту. Проценты на всю оставшуюся жизнь.
Но я настолько «современный», что знаю, что должен готовить своих учеников к профессиям, которых… пока нет. Лучшее, что я могу и могу сделать, это показать студентам: ВЫ ИЗМЕНИТЕ СЕБЯ? Даже на уровне начальной математики.
Смотрите также:
