Математики и машины
Многие думают, что построение математических машин? и обязательно компьютеры? только инженеры внесли свой вклад. Это неправда, с самого начала в эту работу внесли свой вклад математики. И это те, у кого в основном только теория. В самом деле, у некоторых из них было хоть малейшее представление о том, что их открытия когда-нибудь будут применяться в таких же обыденных делах, как создание счетов?
Сегодня я расскажу вам о двух математиках из более ранних времен. Еще одного (то есть Джона фон Неймана), без труда и идей которого компьютеры вообще не были бы созданы, я оставляю на потом; это слишком велико и слишком важно, чтобы быть объединенным с другими в одну историю. Я связываю этих двоих еще и потому, что они были близкими друзьями, хотя их и разделяла определенная разница в возрасте.
Альтернатива и союз
Но и эти двое тоже не менее достойны, чем Нейманн. Однако прежде чем мы перейдем к их биографии, я предлагаю простую задачу. Рассмотрим любое предложение, состоящее из двух придаточных предложений, соединенных союзом (такое предложение, кто не помнит, называется альтернатива). Скажем:. Задача состоит в том, чтобы опровергнуть это предложение. Итак, что это значит:
Ну а правило таково: мы заменим союз на и противоречим составным предложениям, поэтому: .
Не сложно. Что ж, попробуем возразить предложению, состоящему из двух предложений, соединенных союзом (опять же, кто не помнит термин: Koniunkcja). Например: Аналогичное правило, т. е. замена составными предложениями? я отрицаю так что мы получаем:, означает точно так же, как
Обычно: (1) отрицание альтернативы есть соединение отрицаний, и (2) отрицание соединения есть соединение отрицаний. Эти ? крайне важный? два закона де Моргана для исчисления высказываний.
Хрупкий аристократ
Август де Морган, первый из упомянутых вначале математиков, автор этих законов, родился в Индии в 1806 г. в семье офицера британской колониальной армии. В 1823–27 годах он учился в Кембридже? и сразу после его окончания стал профессором этого замечательного университета. Это был слабый молодой человек, застенчивый и не очень богатый, но чрезвычайно способный в интеллектуальном плане. Достаточно сказать, что он написал и опубликовал 30 книг по математике и более 700 научных статей; это впечатляющее наследие. Много ли было в то время его учеников? как бы мы сказали сегодня? знаменитости и видные деятели. Включая дочь великого поэта-романтика лорда Байрона? известный Ада Лавлейс (1815-1852), считающаяся сегодня первым программистом в истории (она писала программы для машин Чарльза Бэббиджа, о которых я расскажу подробнее). Кстати, в ее честь назван популярный язык программирования ADA?
Работы де Моргана (он умер сравнительно молодым в 1871 г.) положили начало закреплению логических основ математики. С другой стороны, упомянутые выше его правила нашли красивую электрическую (а затем и электронную) реализацию в конструкции логических вентилей, лежащих в основе работы каждого процессора.
Кстати. Если мы отрицаем предложение: мы получаем предложение: Точно так же, если мы отрицаем предложение:, мы получаем предложение: Это также законы де Моргана, но для исчисления кванторов. Интересно ? а тут показать негде? это простое обобщение законов де Моргана для исчисления высказываний?
Адски одаренный сын сапожника
Более-менее сегодня другой наш герой жил с де Морганом, то есть Джордж Буль. Були были семьей мелких фермеров и торговцев с северо-востока Англии. Семья ничем особенным не выделялась до прихода Джона Буля?Кого? хотя он был всего лишь обычным сапожником? влюбился в математику, астрономию и? музыку до такой степени, что как сапожник? обанкротился. Ну а у Иоанна в 1815 году родился сын Джордж (то есть Георгий).
После банкротства папы маленького Джорджа пришлось забрать из школы. Математика? как получилось удачно? его сам отец учил его; но это был не первый предмет, который маленький Юрек выучил дома. Сначала была латынь, потом языки: греческий, французский, немецкий и итальянский. Но самым успешным оказалось обучение мальчика математике: в 19 лет мальчик опубликовал? в Кембриджском математическом журнале? ? моя первая серьезная работа в этой области. Потом пришли следующие.
Через год Джордж, не имея формального образования, открыл собственную школу. А в 1842 году он встретил де Моргана и подружился с ним.
В то время у Де Моргана были некоторые проблемы. Его идеи высмеивались и подвергались резкой критике со стороны профессиональных философов, которые не могли себе представить, что математик начинает что-то говорить в дисциплине, до сих пор считавшейся разделом чистой философии, т. е. в логике (кстати, большинство современных ученых сегодня считают, что логика это всего лишь одна из ветвей чистой математики, к философии же почти никакого отношения не имеющая, разумеется, философов она возмущает почти так же, как и во времена де Моргана?). Буль, конечно, поддержал друга? а в 1847 г. он написал небольшую работу под заглавием. Это эссе оказалось новаторским.
Де Морган оценил эту работу. Через несколько месяцев после его выхода он узнал о вакантной должности профессора только что созданного Королевского колледжа Университета Корка в Ирландии. Буль принимал участие в конкурсе на эту должность, но был устранен, и конкурс не был разрешен. Через какое-то время друг помог ему своей поддержкой? а Буль, однако, получил в этом университете кафедру математики; не имея абсолютно никакого формального образования ни в математике, ни в какой-либо другой области?
Несколько лет спустя похожая история произошла с нашим гениальным соотечественником Стефаном Банахом. В свою очередь, его учеба до вступления в профессуру во Львове ограничивалась бакалавриатом и одним семестром политеха?
Но вернемся к булевам. Расширяя свои идеи из первой монографии, он опубликовал в 1854 году свою знаменитую и классическую сегодня работу? (название, в соответствии с модой того времени, было намного длиннее). В этой работе Булев показал, что практика логических рассуждений на самом деле может быть сведена к довольно простому? хотя с использованием немного странной арифметики (двоичной!)? учетные записи. За двести лет до него аналогичная идея была у великого Лейбница, но этот титан мысли не успел довести дело до конца.
Но кто думает, что мир упал на колени перед творчеством Буля и поразился глубине его интеллекта? неправильно. Хотя с 1857 года Буль уже был членом Королевской академии и широко уважаемым и известным математиком, но его логические идеи долгое время считались диковинкой, не имеющей большого значения. На самом деле, только в 1910 году великие британские ученые Бертран Рассел i Альфред Норт Уайтхед, опубликовав первый том своего блестящего труда (), они показали, что булевы идеи – и не только имеют существенное отношение к логике? но даже są логика. Помимо идей Джорджа Буля, классическая логика просто? с небольшим преувеличением? вообще не существует. Аристотель, классик логики, в день печати стал лишь исторической диковинкой.
Кстати, еще одна интересная информация: примерно полвека спустя все теоремы о жире были тщательно доказаны булевым исчислением в течение многих лет? за восемь минут он оказался менее мощным компьютером, искусно запрограммированным гениальным американцем китайского происхождения Ван Хао.
Кстати, Булю немного повезло: свергни он Аристотеля с престола тремя веками ранее, его бы сожгли на костре.
А потом оказалось, что так называемые булевы алгебры? это не только чрезвычайно важная и богатая область математики, которая развивается и сегодня, но и логическая основа построения математических машин. Более того, булевы теоремы без каких-либо изменений относятся не только к логике, где они описывают классическое исчисление высказываний, но и к бинарному исчислению (в системе счисления, в которой используются только две цифры – нули и единица, являющаяся основанием компьютерной арифметики), но они используются и в теории множеств, разработанной гораздо позже. Оказывается, в этой теории семейство подмножеств любого множества можно трактовать как булеву алгебру.
логическое значение? как де Морган? у него было слабое здоровье. Давайте также будем честны, что его это здоровье совершенно не заботило: он слишком много и слишком много работал, и он был чрезвычайно трудолюбив. 24 октября 1864 года, когда он собирался на лекцию? Он был ужасно мокрым. Не желая задерживать занятия, он не переодевался и не сливался. Результатом стала сильная простуда, пневмония и смерть через несколько месяцев. Он умер в возрасте всего 49 лет.
Буль был женат на Мэри Эверест, дочери известного британского исследователя и географа (да, да? той, что с самой высокой горы в мире) на 17 лет моложе его. Романтика? закончился чрезвычайно удачным браком? началось с? репетиторство по акустике, которое ученый дал красивой молодой девушке. У него было с ней пять дочерей, три из которых заслужили звание выдающихся: Алиса стала великим математиком, Люси была первым профессором химии в Англии, Этель Лилиан получила признание в свое время как писательница.
