Коронавирус и математическое образование – Частично заказанные коллекции
Вирус, поразивший нас, способствует быстрой реформе образования. особенно на высших ступенях образования. На эту тему можно написать более длинное сочинение, наверняка будет поток докторских диссертаций по методике дистанционного обучения. С определенной точки зрения, это возврат к истокам и к забытым привычкам самообучения. Так было, например, в Кременецкой средней школе (в Кременеце, ныне на Украине, существовавшей в 1805-31 гг., прозябавшей до 1914 г. и переживавшей свой расцвет в 1922-1939 гг.). Студенты учились там самостоятельно – только после того, как они выучились, входили преподаватели с исправлениями, окончательными разъяснениями, помощью в трудных местах и т. д. Когда я стал студентом, еще говорили, что знания мы должны приобретать сами, что занятия в университет только заказать и направить. Но тогда это была только теория…
Весной 2020 года не я один обнаружил, что уроки (в том числе лекции, упражнения и т. д.) можно очень эффективно проводить удаленно (Google Meet, Microsoft Teams и т. д.), ценой большой работы на часть учителя и просто желание «получить образование» с другой стороны; но и с некоторым комфортом: я сижу у себя дома, в своем кресле, а на традиционных лекциях студенты тоже часто занимались чем-то другим. Эффект от такого обучения может быть даже лучше, чем при традиционной, восходящей к средневековью, классно-урочной системе. Что от него останется, когда вирус отправится «к черту»? Я думаю… довольно много. Но мы увидим.
Сегодня я расскажу о частично заказанных наборах. Это просто. Поскольку бинарное отношение в непустом множестве X называется отношением частичного порядка, когда существует
(Тадеуш Котарбинский, 1886-1981, философ,
президент Польской академии наук в 1957–1962 гг.).
- Рефлексивный, т. е. для каждого ∈ есть «,
- Прохожий, т.е. если «, и «, то «,
- Полуасимметричный, т.е. («∧«)→ знак равно
Строка — это множество со следующим свойством: для любых двух элементов это множество либо «или y». Антицепь – это…
Стоп, стоп! Можно ли что-нибудь из этого понять? Конечно, это является. Но понял ли уже кто-нибудь из Читателей (не знающих иного) что здесь?
Не думаю! И это канон преподавания математики. Тоже в школе. Сначала приличное, строгое определение, а потом, те, кто не уснул от скуки, обязательно что-нибудь поймут. Этот метод был навязан «великими» учителями математики. Он должен быть аккуратным и строгим. Это правда, что так и должно быть в конце. Математика должна быть точной наукой (смотрите также: ).
Должен признаться, что в университете, где я работаю после выхода на пенсию из Варшавского университета, я тоже преподавал так много лет. Только в ней было пресловутое ведро с холодной водой (пусть так и останется: надобность была ведро!). Неожиданно высокая абстракция стала легкой и приятной. Установить внимание: легко не значит легко. Легкому боксеру тоже приходится нелегко.
Я улыбнусь своим воспоминаниям. Основам математики меня обучал тогдашний декан факультета, первоклассный математик, только что приехавший из долгого пребывания в США, что в то время было чем-то экстраординарным само по себе. Я думаю, что она была немного снобисткой, когда немного забыла польский язык. Она злоупотребляла старыми польскими «что», «поэтому», «азалия» и придумала этот термин: «полуасимметричные отношения». Мне нравится его использовать, он действительно точен. Мне нравиться. Но я не требую этого от студентов. Это обычно называют «низкой антисимметрией». Десятка красивых.
Давным-давно, потому что в семидесятых годах (прошлого века) была произведена великая, радостная реформа преподавания математики. Это совпало с началом короткого периода правления Эдуарда Герека – определенного открытия нашей страны миру. «Детям можно учить и высшую математику», — восклицали Великие Учителя. Для детей был составлен конспект университетской лекции «Основы математики». Это была тенденция не только в Польше, но и во всей Европе. Решить уравнение было недостаточно, нужно было объяснить каждую деталь. Чтобы не быть голословным – каждый из Читателей может решить систему уравнений:
но студенты должны были обосновывать каждый шаг, ссылаться на соответствующие высказывания и т. д. Это было классическое превышение формы над содержанием. Мне сейчас легко критиковать. Я тоже когда-то был сторонником такого подхода. Это увлекательно… для молодых людей, увлеченных математикой. Это, конечно, было (и, ради внимания, я).
Но хватит лирического отступления, давайте к делу: лекция, которая «теоретически» предназначалась для второкурсников политехникума и была бы сухой, как кокосовая стружка, если бы не она. я немного преувеличиваю…
Доброе утро тебе. Сегодняшняя тема – частичная очистка. Нет, это не намек на небрежную уборку. Лучшим сравнением было бы рассмотреть, что лучше: томатный суп или торт с кремом. Ответ понятен: смотря от чего. На десерт – печенье, а на питательное блюдо: суп.
В математике мы имеем дело с числами. Они упорядочены: они больше и меньше, но из двух разных чисел одно всегда меньше, а значит, другое больше. Они расположены по порядку, как буквы в алфавите. В журнале занятий порядок может быть таким: Адамчик, Багинская, Хойницкий, Дерковский, Эльгет, Филипов, Гжечник, Холницкий (они друзья и одноклассники из моего класса!). У нас также нет сомнений, что Матусяк «Матушелянский» Матушевский «Матисяк. Символ «двойного неравенства» имеет значение «предшествует».
В моем туристическом клубе мы стараемся составлять списки в алфавитном порядке, но по имени, например, Алина Вроньска «Варвара Качаровска», Цезарь Боушиц и т. д. В официальных отчетах порядок был бы обратным. Математики называют алфавитный порядок лексикографическим (лексикон более или менее похож на словарь). С другой стороны, такой порядок, при котором в имени, состоящем из двух частей (Михал Шурек, Алина Вроньска, Станислав Смажинский) мы сначала смотрим на вторую часть, является для математиков антилексикографическим порядком. Длинные названия, но очень простое содержание.
1. Линейный порядок: станции и остановки на пути железной дороги Хабовка — Закопане от Подгале, построенные в 1899 г. (расшифровку сокращений оставляю читателю).
Все такие заказы называются линейными заказами. Заказываем по очереди: первое, второе, третье. Все в порядке, от первого пункта до последнего. Это не всегда имеет смысл. Ведь мы расставляем книги в библиотеке не так, а по секциям. Только внутри отдела располагаем линейно (обычно по алфавиту).
2. Линейный порядок: при запуске двигателя автомобиля выполняем действия в согласованном порядке.
С более крупными проектами, особенно в командной работе, у нас больше нет линейного порядка. Давайте посмотрим на рыс. 3. Мы хотим построить небольшую гостиницу. У нас уже есть деньги (ячейка 0). Оформляем разрешительную документацию, собираем материалы, начинаем строительство, а заодно проводим рекламную кампанию, ищем сотрудников и так далее и тому подобное. Когда мы достигнем «10», первые гости могут заселиться (пример из рассказов г-на Домбровского и их маленького отеля в пригороде Кракова). У нас есть нелинейный порядок – некоторые вещи могут происходить параллельно.
В экономике вы узнаете о концепции критического пути. Это набор действий, которые должны выполняться последовательно (и это называется цепочкой в математике, подробнее об этом чуть позже), и которые занимают больше всего времени. Сокращение времени строительства — это реорганизация критического пути. Но об этом на других лекциях (напомню, что читаю “университетскую лекцию”). Мы делаем упор на математику.
Диаграммы, подобные рисунку 3, называются диаграммами Хассе (Гельмут Хассе, немецкий математик, 1898–1979). Каждое сложное усилие должно быть спланировано таким образом. Мы видим последовательности действий: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Математики называют их струнами. Вся затея состоит из четырех цепочек. Напротив, группы активности 1-2-3-4, 5-6-7 и 8-9 представляют собой антицепи. Вот как они называются. Дело в том, что в конкретной группе ни одно из действий не зависит от предыдущего.
4. Это тоже диаграмма Хассе.
пойдем рисунок 4. Что импозантно? Но это может быть схема метро в каком-нибудь городе! Подземные железные дороги всегда сгруппированы в линии — они не переходят из одной в другую. Строки — это отдельные строки. В городе рис. 4 есть печь линия (помните, что печь пишется «boldem» — по-польски называется полутолстым).
На этой диаграмме (рис. 4) есть короткая желтая АБФ, шестистанционная АЦФКПС, зеленая АДГЛ, синяя ДГМРТ и самая длинная красная. Математик скажет: на этой диаграмме Хассе есть печь цепи. Это на красной линии семь станция: АЭЙНРУВ. А антицепи? Есть они семь. Читатель уже заметил, что я дважды подчеркнул слово семь.
Антицепь это такой набор станций, что ни с одной из них невозможно добраться до другой без пересадки. Когда мы немного «разберемся», то увидим следующие антицепи: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, SR. Пожалуйста, проверьте, например, с любой из станций BCLTV невозможно проехать на другую BCTLV без пересадки, точнее: без необходимости возврата на станцию, показанную ниже. Сколько существует антицепей? Семь. Какого размера самый большой из них? Выпекать (опять же полужирным шрифтом).
Вы можете себе представить, студенты, что совпадение этих чисел не случайно. Это. Это было обнаружено и доказано (т. е. всегда так) в 1950 году Робертом Палмером Дилвортом (1914–1993, американский математик). Количество строк, необходимых для покрытия всего множества, равно размеру наибольшей антицепи, и наоборот: количество антицепей равно длине самой длинной антицепи. Это всегда имеет место в частично упорядоченном наборе, т.е. таком, который можно визуализировать. диаграмма Хассего. Это не совсем строгое и правильное определение. Это то, что математики называют «рабочим определением». Это несколько отличается от «рабочего определения». Это подсказка о том, как понимать частично упорядоченные множества. Это важная часть любого обучения: посмотрите, как это работает.
Английская аббревиатура is — это слово красиво звучит в славянских языках, немного похоже на чертополох. Обратите внимание, что чертополох тоже ветвистый.
Очень красиво, но кому это нужно? Вам, дорогие студенты, он нужен для сдачи экзамена и, наверное, это достаточно веская причина для его изучения. Я слушаю, какие вопросы? Я слушаю, господин из-под окна. О, вопрос в том, будет ли это когда-нибудь полезно Господу в вашей жизни? Может и нет, но для кого-то поумнее вас точно… Может для анализа критического пути в сложном экономическом проекте?
Я пишу этот текст в середине июня, в Варшавском университете идут выборы ректора. Я прочитал несколько комментариев от пользователей Интернета. Удивительно много ненависти (или “ненависти”) к “образованным людям”. Кто-то прямо написал, что люди с университетским образованием знают меньше, чем с университетским образованием. Я, конечно, не буду вступать в дискуссию. Мне просто грустно, что возвращается устоявшееся в Польской Народной Республике мнение, что все можно сделать молотком и зубилом. Я возвращаюсь к математике.
Теорема Диллворта имеет несколько интересных применений. Одна из них известна как теорема о браке (англ.рыс. 6).
Есть группа женщин (скорее девушек) и немного большая группа мужчин. Каждая девушка думает примерно так: «Я могла бы выйти за этого, за другого, но никогда в жизни за третьего». И так далее, у каждого свои предпочтения. Рисуем схему, ведя к каждому из них стрелу от того парня, которого он не отвергает как кандидата на алтарь. Вопрос: могут ли пары быть подобраны так, чтобы каждая нашла мужа, которого она принимает?
Теорема Филипа Холла, говорит, что это можно сделать – при соблюдении определенных условий, которые я здесь обсуждать не буду (тогда на следующей лекции, студенты, пожалуйста). Обратите внимание, однако, что мужское удовлетворение здесь вообще не упоминается. Как известно, именно женщины выбирают нас, а не наоборот, как нам кажется (напомню, что я автор, а не автор).
Немного серьезной математики. Как теорема Холла следует из Дилворта? Это очень просто. Посмотрим еще раз на рисунок 6. Цепочки там очень короткие: они имеют длину 2 (бегущие в направлении). Набор человечков – антицепь (именно потому, что стрелки только навстречу). Таким образом, вы можете покрыть целую коллекцию таким количеством антицепей, сколько есть мужчин. Итак, у каждой женщины будет стрела. А это значит, что она может показаться парнем, которого она принимает!!!
Подождите, кто-нибудь спросит, и все? Это все приложение? Гормоны как-нибудь уживутся и зачем математика? Во-первых, это не все приложение, а только одно из большой серии. Давайте посмотрим на один из них. Пусть (рис. 6) имеются в виду не представители лучшего пола, а довольно прозаичные покупатели, и – это марки, например, автомобилей, стиральных машин, средств для похудения, предложения турфирм и т. д. У каждого покупателя есть марки, которые он принимает и отвергает. Можно ли что-то сделать, чтобы продать что-то всем и как? На этом не только шутки заканчиваются, но и познания автора статьи на эту тему. Все, что я знаю, это то, что анализ основан на довольно сложной математике.
Преподавание математики в школе — это обучение алгоритмам. Это важная часть обучения. Но потихоньку мы движемся к обучению не столько математике, сколько математическому методу. Сегодняшняя лекция была как раз об этом: мы говорим об абстрактных мысленных построениях, мы думаем о повседневной жизни. Речь идет о цепях и антицепях в множествах с обратными, транзитивными и другими отношениями, которые мы используем в моделях продавец-покупатель. Все расчеты за нас сделает компьютер. Он пока не будет создавать математические модели. Мы по-прежнему побеждаем своим мышлением. В любом случае, надеюсь, как можно дольше!
