Как обмануть, манипулировать и представить себя в выгодном свете в величии математики?

В начале ноября 2020 года Матеуш Моравецкий сослался на математиков из Центра математического моделирования, что они показали, что Женская забастовка вызвала рост заражений на 5000. У меня есть друзья в этом Центре – они только узнали о том, что у них предсказал это из выступления г-на Матеуша.

Хочу подчеркнуть, что, возможно, вопреки названию статьи, я не буду ни хвалить, ни критиковать нынешнего премьера. я думаю что математика не является его сильной стороной, но такой интеллектуальный недостаток не вызовет возражений у большинства из вас. Да и вообще, разве великий математик не был бы на ответственном посту, но не мудр в жизни и политике? Также упомяну, что Дональд Туск в своей бывшей президентской кампании сказал (как в шутку): «экзамены по математике нельзя писать без скачивания». Знаешь – математическое облако твой мужик, как и я. Джулиан Тувим снобизничал по поводу своего невежества в математике. И меня позвали к доске. Отмечу лишь, что у нас в Польше была премьера по математике. Это был (пять раз) Казимеж Бартель, 1882-1941, ректор Львовской политехники, отличный геометр. Я не могу и не пытаюсь судить о его правлении.

Вытирание рта является универсальным и старым. Об этом написаны книги, тонкие и толстые. Способов много, я расскажу о некоторых, начну с тех, что сшиты толстыми нитками. Возможно, в прошлом таких методов было даже больше, потому что в монументальном и первом в своем роде Словаре польского языка Самуэль Богумил Линде (опубликовано в 1807-1814 гг.) читаем:

Математик, математический математик, математический жонглер.

Мы не знаем простейших действий, и очень хотим проявить себя. Несколько лет назад журналист из Ольштына написал длинную разоблачительную статью о том, как нас обманывают производители. Например: на пачке сливочного масла написано “жирность 85 процентов” – а это 85 процентов в кубе или в килограмме? Вся Польша чирикала. Но только умные учителя математики (то есть все учителя математики!) заметили ошибку в рассуждениях одного из наших бывших премьер-министров Казимира Марцинкевича много лет назад. Я немного изменю цифры, чтобы было легче видеть. Он сказал примерно так: мы потратили 150 миллионов злотых на дорожное строительство, а 50 получили из Брюсселя, поэтому потратим только 100. Мы сэкономили 50 процентов. Ну, 50 на 100 это 50 процентов. Где ошибка? А если бы у нас было 100 миллионов, сколько бы мы сэкономили? Ошибка тонкая. Говоря о процентах, важно пояснить, откуда мы их берем. Это очень распространенная ошибка учителей. Говорят, процент – это одна сотая. Это не разрешено! Процент сотый, но это всегда что-то. Если мы потратим 150, а потратим 100, то сэкономим 50 из 150, что составляет 33%. Премьер-министр Марцинкевич был учителем физики. Либо он был настолько плохим учителем, что не понимал проценты, либо намеренно манипулировал ими, чтобы получить лучший политический эффект. Я бы на самом деле предпочел последнее. Напомню вам очень старый, довоенный анекдот. “Папа, я сегодня сэкономил 20 центов!” «Это очень хорошо, сынок! Как? ” «Я не поехала в школу на трамвае, а побежала за ним!» «Ах, сынок, беги второй раз за такси — сэкономишь 5 злотых!»

Идеи, идеи! Большая часть идей так называемого творческий учет основан на юридических лазейках (закон, написанный на коленке = дерьмо) и сбивается с понятия среднего. Вот пример: как можно повысить всем зарплату, снизив при этом среднюю зарплату? Просто: дайте небольшую прибавку тем, кто уже работает, и при этом наймите много низкооплачиваемых людей. Средний упадет… а в условиях задачи о глобальном фонде заработной платы и речи не шло. Якобы до 1989 года так вел себя некий директор казенного предприятия.

Можно воевать напрямую, используя математическую безграмотность многих кругов общества и сочетая математику (??) с литературой (??). Вот демагогический, но вымышленный текст (правда, основанный на реальной публикации, до 2010 года для внимания).

Медсестрам будет лучше. Два года назад средняя чистая зарплата медсестры в Сохачевском уезде составляла 1500 злотых. В прошлом году правительство увеличило расходы на здравоохранение на полмиллиарда злотых. Это будет в два раза больше, чем в предыдущие годы. Герменегильда Коцюбинская, медсестра Центральной клинической больницы, говорит: моя зарплата в прошлом месяце составила 4500 злотых. Это означает огромный, трехкратный рост доходов в здравоохранении.

Неужели некого обмануть? Даже если числа совпадают, вы можете видеть, что мы сравниваем здесь Средняя заработная плата в губернской больнице с окладом одного человека в данном месяце. Может быть, Герменегильда — заведующая медсестрами, может быть, у нее в этом месяце было много дополнительных смен, и, кроме того, в ЦРБ особая шкала окладов? Кроме того, упомянутые 1500 500 злотых являются чистой заработной платой, и не указано, является ли заработная плата г-жи Коцюбинской чистой или брутто. Полмиллиарда — это огромная сумма для отдельного человека, но что она означает на национальном уровне? Сразу отметим, что «полмиллиарда» звучит лучше пропагандистски, чем «500 миллионов». На что пошли 500 млн злотых, не сообщается. Неизвестно, почему XNUMX млн злотых в два раза больше.

Как я могу улучшить свои результаты обучения? Школа X критикуется органами образования за низкие образовательные результаты (то есть низкий средний балл, хотя это разные вещи!). Директор школы находит способ немного улучшить ситуацию. Он переводит нескольких учеников из класса А в класс Б и достигает своей цели: средний балл в обоих классах вырос.

Как это возможно? Если в классе А есть учащийся, средний балл которого ниже, чем в среднем в классе А, но выше, чем в среднем в классе В, то перевод его в класс Б будет иметь такой же эффект. Вера основана на этом эффекте Мечислав Чума i Лешек Мазан, авторов «Галицкой энциклопедии» (издательство «Анабасис», Краков), что в тот день, когда Сигизмунд III Ваза и его двор переселились в Варшаву, в обоих этих городах повысился средний уровень интеллекта.

Мы склонны интерпретировать данные. Это самая обычная неэлементарная растяжка. Начну с самого глупого, но достоверного примера. Много-много лет назад ныне несуществующий Express Wieczorny сообщил, что средняя заработная плата в Варшавском университете будет составлять 15000 24 злотых (тогда злотых). Ректор должен был получать самую высокую зарплату, 6, самый низкий начинающий помощник, 15. Средняя XNUMX!!! Манипуляции понятие среднего является темой для абилитации.

Вот еще два примера. Вы знаете, что у среднего человека в Польше меньше двух ног? Ну да: есть те, у кого один, а три нет ни у кого! Второй пример более тонкий. Ну, у нас с женой есть свои машины. Мой развозчик потребляет много топлива, 12,5 литров на 100 км. Это значит, что на 100 км мне нужно 8 литров. У моей жены малюсенький Мицубиси – расходует 8 литров на 100 км. Это тоже немало, но для того, чтобы расчеты были простыми, данные нужно немного обработать. Мы часто ездим на одном и том же. Следовательно, средний расход топлива двух наших машин составляет среднее арифметическое 8 и 12,5. Складываем, делим на 2. Получается 10,25 литров. Конечно, важно, чтобы мы часто ездили одинаково. Так где же простор для манипуляций?

О, здесь. Знаете ли вы, что расход топлива в США рассчитывается по-другому? Там ответят: «Я столько миль езжу с одного галлона». Оставим перевод галлонов в литры и миль в километры, но применим это к вышеупомянутым автомобилям: моему и Единоличному Наблюдательному Совету Нашего Брака. Я проеду только 8 км на одном литре (100 разделить на 12,5), жена 12,5 км (100 разделить на 8). В среднем на один литр у нас уйдет… среднее арифметическое этих цифр. Мы уже рассчитали это один раз. Выходит 10 с четвертью — на этот раз 10,25 километра.

Вернемся к европейским меркам. Если я проеду 10,25 км на одном литре, сколько литров вам нужно на 100? Возьмем калькулятор: 100 разделить на 10,25 — это… 9,76. Средний расход у наших машин 9,76… а до этого было 10,25. Где ошибка? Нет! Собственно, не в математике, а в трактовке слов “ездим одинаково часто”. Тщательный анализ покажет, что в первой интерпретации это означает «мы проезжаем одинаковое количество километров в месяц», а во второй «мы используем одинаковое количество бензина». Можно было бы добавить третью переменную: мы проводим за рулем одинаковое количество времени (жена едет намного быстрее)… и было бы по-другому. Если мы что-то измеряем, у нас должна быть измерительная лента.

Более тонкие ситуации. Парадокс Симпсона. Исследуем, что лучше убирает перхоть: кока-кола или пепси-кола. Тестируем на женщинах и мужчинах. Вот данные. Почти все расчеты можно производить в памяти.

Пожалуйста, Читатель, садитесь. Просто чтобы не выпасть из ощущения. Какой напиток лучше удаляет перхоть у мужчин? Я отметил большие числа красным цветом, а меньшие — синим. 25 больше, чем 20, не так ли? Господа: покупайте кока-колу от перхоти! А женщины? Наверное наоборот? Нет, 60> 53. Дамы, пейте кока-колу.

Компания покупает рекламу на телевидении, где счастливая пара (по старинке: мужчина и женщина) избавляются от этого легкого недуга с помощью кока-колы. Но есть реклама Pepsi. Ну, потому что на тесте и здесь, и здесь было по 250 человек, значит, поровну. Coca-Cola помогла 80 людям (32%), Pepsi помогла 100 людям, 40%. На экране толпа сбрасывает перхоть, а перед камерой катится банка пепси. «Наше поколение уже выбрало!»

Где ошибка? Нет. Я имею в виду, математика в порядке. Или, скорее, только арифметика. Чтобы быть математически правильными, мы должны взять сравнимые образцы с той же долей М, что и К. В противном случае вычисления не имеют смысла, как если бы мы вычисляли средний вес комара и слона. Мы можем складывать и делить на два. Что мы вычислили? Ну средний вес комара и слона. Что это даст нам? Нить.

Но перенесем это в политику, в США, конечно. Сторонники одного из кандидатов, скажем Бампа, возопили бы: мы лучше и для дам, и для джентльменов. Голосуйте за Юзефа Подскока! Сторонники Triden писали бы на баннерах: Мы лучше во всем мире. Голосуйте за утку с 3 денами (Дональд).

Хорошо, как на самом деле? Это самая сложная часть. Что значит “действительно”? Можно сказать: «Истинно то, что согласуется с реальностью». Однако возникает другой вопрос: как измерить «соответствие реальности»? Но это уже не математика, и я хотел бы придерживаться ее, потому что только здесь я чувствую себя уверенно.

Об этом парадоксе (называемом Парадокс Симпсона) основан на многих, многих других. В математике он известен уже сто лет, но (относительно) недавно им заинтересовались социальные науки. Все началось с того, что в одном из американских университетов ректор заметил, что девочек принимают гораздо меньше, чем мальчиков. Она запросила отчеты у деканов… и оказалось, что на каждом факультете соотношение принятых к кандидатам у девушек больше, чем у юношей, – и вовсе наоборот. Я рекомендую читателю переделать пример Pepsi и Coca-Cola на ситуацию с университетскими факультетами.

Еще более тонкая ситуация. В математическом мире всем известен «пример Небраски». Где-то в Небраске был совершен обыск в магазине, ограблен кассовый аппарат. Свидетели лишь помнили, что это сделала странная парочка: темнокожий мужчина с бородой и женщина с восточными чертами лица. Они уехали (визг шин, как в фильме) на желтой Тойоте. Через несколько часов полиция задержала… желтую «Тойоту», в которой находился афроамериканец с бородой в сопровождении азиатки. “Это ты!”. Наручники, суд. Опытный математик подсчитал, что такой набор (негр+азиат+желтая Тойота) настолько уникален, что 99,999% грабителей разыскиваются. Он бросал в зале заученные термины: элементарные события, диаграмма Бернулли, конъюнкция. Пара пошла сидеть. Однако они наняли лучшего математика, который сказал в обращении: «Хорошо. Судите сами, мой предшественник подсчитал, что вероятность того, что случайно встреченная машина с двумя пассажирами будет желтой тойотой с черным и японкой такая-то. Но тут надо решить другую задачу, условную вероятность. Какова вероятность встретить еще одну пару (или троих, если включить машину), если мы знаем, что такая уже существует. »

Мы не знаем, понял ли судья какой-либо из аргументов. Пожалуй, только то, что ответ зависит от выбора ситуации. Этого было достаточно. Он отменил приговор.

Удар столбом по голове. Мы всегда относились к такой демагогии (1).

Бары ужасные: цены на уголь выросли вдвое. Взгляд на цифры обнадеживает: они действительно выросли со 161 злотого за тонну до 169 злотых (упражнение: на сколько процентов?). Но поскольку большинство людей учатся визуально, они запомнят график, а не числа. Не вдаваясь в политические дискуссии, должен сказать, что аналогичный метод использовало правительство (тот, что с лета 2020 года), представив увеличение расходов на борьбу с раком. Это не критика этого правительства. Следующий также будет использовать этот метод. Это безопасно и дает немедленный эффект («видно»).

Давайте носить маски. Законы распространения эпидемий просты и «сами по себе» неумолимы. Число инфицированных растет тем быстрее, чем больше их уже. Вот так идет лавина. Так говорит математика. Есть, однако, большое «но» — может быть, не одно. Во-первых, это так, пока «ничего не происходит». Когда лавина в лесу будет остановлена, когда эпидемия будет замедлена мудрым поведением всех нас – тогда мы будем не столько “благодарить” математику, сколько создавать другую модель. Да, другая математическая модель (как в примере с ограблением магазина в Небраске). Математика, прекрасная наука, только помогает понять мир. Столько – но только столько. Посмотрим: мы прыгаем почти на шесть метров с шестом, без него даже на 2,50 не прыгаем. Затем возьмите шест в руку и прыгайте. Он чертовски мешает, да?

использование математика в социальных науках это трудно, опасно и, что еще хуже, заманчиво. У знатоков Татр он ассоциируется с оврагом Дреге: пологий, травянистый спуск из Гранатов в Чёрный Став… Вот так он выглядит сверху. Вскоре овраг превращается в ловушку, из которой нас может спасти только ТОПР, Татранская волонтерская спасательная служба.

Математики называют такое увеличение снежной лавины и эпидемии экспоненциальным ростом. Как я уже писал, этот рост можно подавить, но не снова. Однако давайте посмотрим на два графика одной и той же кривой (только в другом масштабе). Кто поймет, привожу формулу этой функции: y = 2^xдва к власти. Пожалуйста, посмотрите на графики. С какой точки происходит быстрое ускорение роста? Каждый будет указывать: это более или менее близко к точке, отмеченной большой точкой. Но на первом графике это значение близко к 1,5, на втором больше 3, а на третьем 4,5. Если именно тогда будут какие-то уличные демонстрации, то можно сказать: ну пожалуйста, с момента демонстрации кривая пошла вверх, резко пошла вверх. Во величии математики! И это всего лишь свойство экспоненциальной кривой. Соответствующий масштаб и точка, с которой начинается быстрое ускорение, могут быть выбраны свободно (2).

Президентские выборы… в США, конечно. Мы до сих пор помним фарс ноября 2020 года. Страна, которая до сих пор является державой №1, не справилась со счетом страниц. В итоге оказалось, что Джо Байден он не только набрал больше голосов выборщиков, но и выиграл бы, если бы решение приняло простое большинство. В ситуации, которую я опишу, нет никакого математического подтасовки – просто пример того, насколько результат выборов может зависеть от принятого постановления. Если известно, протестовать сложно. Защитник в футболе может считать запрет на игру руками неправильным, но если его игнорировать, будет назначен пенальти.

Представьте, что на пост президента Греции баллотируются: Аполлоний, Евклид, Цапля, питагора i Такие. Кого выберут избиратели, тот и станет президентом. Их 100. Они избирались всеобщим голосованием, а затем партии, представленные в парламенте, то есть Circus Maximus, устанавливали порядок своих предпочтений. Что-то не так, потому что Circus Maximus — латинское, а не греческое название. Но не будем спорить с источниками.

Кто станет президентом? Давайте посмотрим, как это зависит от рукоположения. Предпочтения партии следует понимать таким образом, что ее избиратели голосуют за первого человека из списка, оставшегося на выборах после очередного тура.

Если постановление предусматривает, что побеждает кандидат, поставивший наибольшее количество избирателей на первое место, победит Пифагор, потому что он будет избран 25 + 9 = 34 избирателями. Вот что происходит в школе, когда мы выбираем, например, лучшего ученика. На нашем месте: Пифагор избран народом!
На современных президентских выборах чаще всего используется система второго тура. Мы голосуем за одного кандидата, но если ни один из них не превышает 50 процентов, проводится второй тур. Победителем становится тот, кто набирает абсолютное большинство голосов, то есть просто больше голосов, чем его оппонент. При таком раскладе во второй тур пройдут Пифагор (34 голоса) и Фалес (20). Во втором туре избиратели распределяют голоса в соответствии со своими предпочтениями. Все, кроме пифагорейцев, предпочитают Фалеса Пифагору. Это частая ситуация, когда партия имеет жесткий электорат и окружена всеобщим нежеланием. Так что в дополнительное время Пифагор не получит ни одного голоса. Результат 66:34 в пользу Фалеса и решающая победа. Похожая ситуация произошла в 2001 году в Словакии, где кандидат, явно выигравший первый тур, проиграл во втором. Аналогично было и на президентских выборах в Польше в 2005 году: лидер потерпел поражение во втором после первого туре. Да здравствуют Президентские сказки!
В велогонках используются так называемые Австралийская система. После каждого круга трассы выбывает последний. Этот вариант закона о выборах называется «выборы директоров». По этой системе был избран первый президент независимой Польши Габриэль Нарутович. Как бы это выглядело в нашей Греции?

Дело сложнее. Пожалуйста, отследите. В первом туре Евклид получил наименьшее количество голосов и выбыл (а жаль, такой хороший математик!). Затем партия во втором туре голосует за второго в своем списке: Цапля. Во втором туре у Херона 19 + 10 = 29 голосов. Аполлоний выбывает (17 голосов). Партии, а затем голосуйте за Херона. В третьем туре Пифагор (фиксированный электорат) имеет 34 голоса, Фалес 20 и Герон 29 + 17 = 46 голосов. Сказки вышли. Фалезийцы (партия Б) тоже не любят пифагорейцев – они предпочитают глашатаев. Другие тоже, кроме стабильных партий А и Е. В финальном повороте Херон легко побеждает Пифагора 66:34. Виват Президент Херон!

4. На конкурсе песни «Евровидение» за первое место в списке начислялось 12 баллов, за второе место — 10, за третье — 9 и так далее. Давайте предположим примерно такой же счет 6-4-3-2-1. Так начислялись очки в трех легкоатлетических матчах (три команды, по два игрока в каждом соревновании, в 1958 году Польша выиграла у США и Великобритании!). Наши результаты будут следующими:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Греки, вот ваш президент Евклид!

5. Читатели догадываются, что нам нужно только посчитать голоса так, чтобы оказалось, что Аполлоний лучший. И действительно, Аполлоний лучший — потому что он лучше всех. Все проигрывают Аполлонию! Почему?

Ибо сколько выборщиков поставили Аполлония выше Герона? Давайте посчитаем: 25+17+9=51, значит большинство. Не сильно, но все же.

На сколько Аполлоний опережает Евклида? 20 + 19 + 17 = 56, большинство из них.

Сколько предпочитают Аполлония Фалесу: 19+17+10+9=55>50.

Наконец, Аполлоний Пифагорский предпочитает 20 + 19 + 17 + 10 = 66 выборщиков из 100.

С тех пор – греческий народ, умеющий логически мыслить, – с тех пор больше всего Аполлоний предпочитает любого другого кандидата; ведь именно он должен править нами на следующий срок! Подойди ближе, Аполлоний, наш избранный президент! Ты будешь нашим 44.