Учить по-другому (но стоит ли?)

В середине апреля я участвовал в Слете любителей математики в Плоцке. Название слета было: “Математика – может ли быть иначе?” Встречу организовали: Мазовецкий центр подготовки учителей самоуправления, Образовательный центр ORLEN Group, Факультет педагогики Варшавского университета и Фонд «Образование на NOWO». Целью данного мероприятия была попытка найти положительный ответ на вопрос: «Можно ли учить по-другому?». По смыслу: лучше, эффективнее, интереснее.

Я не буду утомлять читателей дидактической дискуссией на эту тему. В математике она всегда решала сама себя, она будет решать сама себя и будет решать задачи. Этому мы учим наших студентов в первую очередь. И правильно — ведь именно этого мы и требуем от них во время экзаменов. Однако, заполняя таким образом свое время, мы забываем о других важных делах. О понимании, понимании прочитанного, анализе и… внимательном рассмотрении. Что я имею в виду под «осторожный взгляд“?

Я могу охарактеризовать их как «анти-телесмотрение». По телевизору нам показывают картинку несколько секунд, потом вторую, третью, четвертую… – их количество имеет значение, что бы вы на них ни увидели. Темп, темп и волатильность имеют значение. Даже на светских мероприятиях существует похожая мода на показ слайдов из отпуска: несколько сотен фотографий за полчаса.

Вот первый характерный пример. Как бы я хотел преподавать математику. Может кто попробует?

Как я хотел бы преподавать

«Студенты, начертите любой выпуклый четырехугольник. Середину следующих сторон соедините секциями. Что ты видишь? Да, Михал прав – был создан параллелограмм. Все ли построили параллелограмм? И можете ли вы доказать, что так будет всегда? Ну да, Агнешка к доске… Ты права, нарисуй диагонали четырехугольника и все понятно.»

На обычных уроках это было бы концом темы. Это начало для меня. Тогда я говорю: «Посмотрите на рисунок (слева) и создайте связанное с ним задание. Да, с этим рисунком. Мы решали только одно – после соединения центров сторон получился параллелограмм. Как какая задача? Вы не понимаете – надо договориться, создать задачу. »

Мой опыт показывает, что учащиеся не выходят за рамки заданий типа “вычислить площадь параллелограмма, вычислить периметр” и т.д. Они тоже не понимают, что я называю обратной задачей. Я объясняю это так: «У вас есть параллелограмм (розовый на рисунке 1). Можете ли вы нарисовать к нему четырехугольник так, чтобы этот параллелограмм был? И в одну сторону или в несколько? Что общего у этих методов?»

Я стараюсь показать своим ученикам все это в движении. Геогебру не знаю, я другими программами пользуюсь, но слышал – она ​​в анимации все нарисует. Вот я и даю своим ученикам такое задание (когда делаю это с учителями, то даю буквально те команды, которые написала ниже – стараюсь относиться к своим ученикам серьезнее).

Восторги и чудеса

Назначение для Cabri, Geogebra, CaR и т.д. (примечание: без этих программ большинство этих команд тоже имеют смысл).

1. Нарисуйте зеленый (можно другого холодного цвета) квадрат.
2. Отметьте середину сторон.
3. Соедините середину следующих сторон секциями; получившийся квадрат отметьте теплым цветом.
4. Оживить рисунок и кричать от восторга, что четырехугольник меняет форму, а внутри параллелограмм, как был, так и есть.
5. Проведите диагонали этого параллелограмма и отметьте точки их пересечения.
6. Нарисуйте окружности с центрами на пересечении диагоналей параллелограмма центров, проходящих через противоположные вершины.
7. Переместите вершину четырехугольника и вслух подумайте, как меняются окружности.
8. Сделайте задачу, когда эти круги будут пересекаться.
9. Разместите весь чертеж на сетке, выберите удобные координаты.
10. Анимируя всю ситуацию (как в пункте 4), угадать необходимое и достаточное условие того, что параллелограмм мер является прямоугольником. А квадрат? Запомните (запишите) гипотезу и оставьте ее для проверки во второй части урока.
11. Посмотрите, что происходит, когда выходной четырехугольник вырождается в треугольник. Предложите задания, связанные с этой ситуацией.

Ожидал ли ты, читатель, что такое тривиальное свойство может превратиться в целый пакет вопросов для обсуждения? И это не конец. Теперь я спрашиваю: «Можно ли обобщить это свойство?» Обычно никто ничего не знает, поэтому вот моя точка зрения: «Хорошо, давайте возьмем треугольник вместо четырехугольника. Каким он будет в треугольнике? Ладно, Оливия, этот маленький треугольник будет похож на большой. Все помнят, что такое подобные треугольники? И в каком масштабе?»

Я продолжаю говорить: «Тогда возьмем пятиугольник…» Через долгое мгновение все замечают, что… ничего не видно. Потому что сейчас сложнее. Беру шестигранник, кидаю рисунок:

Рысь. 2

Но только старшеклассники могут угадать теорему и даже обобщить ее на многоугольники с большим количеством сторон. Когда кажется, что всем надоела эта задача, я перехожу к арифметике: показываю числовой квадрат, например, так:

Рысь. 3

Поясню, что числа, стоящие на серединах сторон, являются средними арифметическими номеров вершин. Я подхожу к очень сложному моменту: «Вы видите, что это изоморфная задача (я не использую это слово) с предыдущей?» “Как же так, это что-то другое, была геометрия, а тут арифметика…” – протестуют ученики, и хочется напомнить, что с такой ситуацией сталкивался каждый учитель: “Нет-нет, это совсем другая задача – что было дома про конфеты, а это на тест про шоколадки!».

Так что у меня есть тема для дальнейшего долгого обсуждения – перевести все вопросы из геометрической ситуации в арифметическую, ответить на все, и в частности: «Можно ли начинать числа для заданных средних арифметических? Это однозначно? А как насчет треугольников, пятиугольников, числовых шестиугольников? »

Когда всем «надоело», я задаю следующие вопросы: «А что, если мы возьмем другие средние значения?» Но я не настаиваю, а когда имею дело со старшеклассниками или учителями, задаю еще один вопрос (и тогда они снова оживляются): «Ну, вот так. Продолжаем, средние средние, средние средние средние… Ты прав, Патрик, давай возьмем компьютер. Вы уже знаете Excel, верно? Поэтому, пожалуйста, запрограммируйте такой вложенный макет, скажем, до десятого этажа, что составляет десять вложенных квадратов. Возьмите несколько стартовых номеров, поиграйте с ними. Просто наблюдайте за результатами».

Ну вот и готова тема для первого научная работа, в начале очень скромный. Но, но… давайте снова вернемся к геометрии. Что у нас получится, если мы повторим нашу структуру, вглубь и вглубь… Это задача для Читателей. И отмечу только, что мы вышли из легкой и, казалось бы, неинтересной задачи… и увидели в ней гораздо больше. Этот:

Рысь. 4

Задачи, которые можно изменить

На примере двух задач я расскажу как можно было бы научить иначе. Мы привыкли, что математика – это такая последовательность: учитель задает задачу, ученик ее решает, учитель обсуждает и… задает следующую задачу. Математика как последовательность: задача-решение-проблема-решение… Возможно ли иначе?

Ты сможешь. Но это сложное дело, оно требует другого взгляда на процесс обучения. Вот вторая задача, открытая. Я взял его из набора подготовительных упражнений к каким-то математическим семинарам европейского масштаба, там он был под номером 8 (http://goo.gl/lsnBm9).

Пронумеруем клетки шахматной доски, простирающейся бесконечно вверх и вправо. Начинаем нумерацию с нуля. В нулевой строке и нулевом столбце (то есть в левом нижнем углу) ставим 0, а затем в каждое другое поле ставим наименьшее число (неотрицательное, целое), не значащееся ни слева, ни снизу это поле, например:

Рысь. 5

Какое число будет стоять в квадрате в строке № 2016 и столбце № 1601? ? Я оставил, для акцента, последнее предложение на английском языке. Это означает: «Можете ли вы обобщить?» Это то, что я называю открытой задачей — она не заканчивается решением. — Вы можете обобщить?

Я задавал этот и подобные вопросы в различных студенческих, преподавательских и преподавательских средах. Дети спросили, что это значит. Студенты ограничивались банальными вопросами и ответами. И учителя, конечно, понимали, о чем идет речь, но они, самые привыкшие к закрытым заданиям, не могли задать ни одного разумного вопроса, предложить загадочное «обобщающее» развитие. Я говорю о статистических данных, конечно, а не буквально обо всех учениках, студентах и ​​учителях.

Я ценю именно те задачи, которые они позволяют возможные изменения, толкования, упрощения и трудности, которые имеют множество путей решения, доступных практически каждому, они ведут в глубины математики, которую я называю здесь не «высшей», а «университетской».

Первое решение. Вы можете создать программу, которая генерирует последующие поля. Однако, поскольку рассматриваемое поле имеет порядковый номер 3227616, плохо структурированная программа может просто «не засчитать» это место. Так что у нас есть альтернатива: улучшить программу или найти красивое рассуждение, ведущее к цели. Оба ценны. Но с компьютером или без него мы можем расширить данный шаблон – начало решения. А теперь все ясно. Нужно лишь умело смотреть на полученную информацию.

Плата имеет блочную компоновку. Блоки имеют последовательные размеры 2, 4, 8, 16, 32, … – это степени числа 2. В каждом столбце и в каждой строке мы имеем перестановку чисел от нуля до 15. На диагонали мы имеют нули выше диагонального. На окраинах числа от единицы до 2n-1, в нашей таблице от нуля до 15. У нас есть интересные перестановки в каждой строке и столбце – но об этом больше не будем.

Давайте посчитаем, сколько блоков нужно, чтобы дойти до 2016 года. Разделите 2016 год на 32. Старшее поколение может обойтись без калькулятора. Выходит 63. И вот еще одна причина, почему мне нравится эта задача и этот тип задач. Это как путешествие, где речь идет не только о пункте назначения, но и об интересных местах, которые вы проезжаете по пути. Сколько будет 32 умножить на 63, что является значением выражения 2n-1 (2n-1) для n = 6? Подсчитаем значения этого выражения для простых чисел n: n = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… Получим: 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640 , 130816, 523776, 2096128. … и это совершенные числа. Именно так пифагорейская школа называла числа, равные сумме своих делителей (не считая самого числа). Например, 496 делится на: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496.

Итак, сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. Теорема Евклида-Эйлера утверждает, что формула 2p-1 (2p-1) дает все четные совершенные числа (p в эта формула должна быть простым числом). Существование нечетных совершенных чисел — нерешенная математическая проблема, из разряда «безнадежных» — до сих пор никто не представляет, как ее решить. Увидимся! В конце концов, однако, тот, кто это придумает, придет!

Число 6 не простое, поэтому 2016 — не идеальное число. У него даже больше делителей, чем «нужно». Вот список делителей 2016 года: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1008 Их сумма составляет 4536, что намного больше, чем 2016. Однако форма 2р-1 (2р-1 ) показывает, что 2016 — треугольное число: сумма последовательных чисел от единицы (или нуля) до 63: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +… + 59 + 60 + 61 + 62 + 63 = 2016

Это похоже на историю изобретения шахмат. Я писал об этом много раз и не буду повторяться. Я имею в виду… Интернет.

Рассредоточься с умом

. Это французское предложение буквально означает «давайте вернемся к нашим баранам», а настоящий смысл примерно такой: «давайте вернемся к вещам» (рекомендую посмотреть Википедию). Вернемся к нашей задаче. И это то, что мне нравится в некоторых типах заданий — то, что можно запутаться в отступлениях так, что на само задание не хватит ни времени, ни терпения. Мы больше не заинтересованы в цели. Мы разошлись и переоделись в маленькие. Должен признаться, именно это мне и нравится в задании, хотя оно, наверное, и не педагогично…

Рассмотрим блоки строки 5, то есть таблицы 32 на 32. Юго-восточный угол шестьдесят третьего блока — 2015. Следующий столбец начинается с 2016 и уменьшается на полпути до 1007. Затем он начинается с нуля, достигая 593 на уровне под которым мы подразумеваем 1601. Проблема решена! Аджадж, не совсем так. А как насчет вопроса об обобщении? Пусть это будет домашний выпуск для читателей, к предстоящему теплу.