SU, где или TRY, где вы можете

Судоку заинтересовал меня совсем недавно, и в некотором роде случайно. А именно, в январе у моего близкого друга была тяжелая операция, после которой он полгода ограничен в подвижности. Я знал, что он фанат и эксперт судоку, поэтому решил изучить игру для себя, но больше с математической стороны. Может быть, ему понравится эта статья (которая будет завершена через месяц), а если нет, то может быть его жене, математику по образованию.

Подойду к игре не столько с математической стороны, сколько с математического образования. Поколения педагогов восклицали, что столь же важна, как и решение задач учащимися, сама задача их составления. Безусловно, это интересные, продуманные и познавательные задания.

Здравый смысл каждого с готовностью согласится. Я ездил в Козенице пять раз на автобусе. В шестой раз, когда я ехал на своей машине, я останавливался на каждом втором перекрестке и колебался: налево или направо. Я объясняю молодому поколению, что в прошлом у нас не только не было GPS, но и карты были труднодоступны, а дорожная разметка была очень плохой. Вернемся к теме, лозунг статьи: не играйте в известные игры, а создавайте свои собственные судоку.

Не прямолинейно, т.е. алиби

Напомню, что происходит. На диаграмме, составленной из девяти квадратов 3 × 3, введите числа от 1 до 9 таким образом, чтобы они не повторялись ни в строке (по горизонтали), ни в столбце (по вертикали), ни в девяти маленьких квадратах. Используя термин, теперь знакомый студентам, они должны стоять там. перестановка числа от 1 до 9.

В заданной задаче в квадрате уже есть несколько или десяток или около того чисел. Просто пополните. Как правило, чем больше цифр, тем проще. Конечно не всегда. Судоку — это школа логического мышления. Я использую их в Университете прикладной информатики и управления, созданном под эгидой Польской академии наук.

Я объясню головоломку судоку, опубликованную в журнале Wiadomości RTV от 27 декабря 1999 г. (1). Это простая диаграмма. Посмотрим на аргументацию.

давайте посмотрим на поле III-я (нижний правый квадрат). Я докажу, что там должна стоять цифра 9. Почему?

Во-первых, мы замечаем, что они уже «заняты» 1, 3, 6 (потому что находятся в строке III). Затем мы видим, что 2, 3, 7 столбца заняты iи наконец — 2, 3, 5, 8 (потому что они в этом квадрате). Значит, осталось 4 или 9. Я покажу, что 4 быть не может, значит, будет 9.

Предположим, в поле III-я ставим 4. Значит в XNUMX ряду девятка должна быть на одном из свободных мест a, b, f. Однако в обоих квадратиках в рядах 1-3 их уже девять. Так что ставить было некуда. Полученное противоречие заканчивается доказательством того, что v III-я не может быть четырех, поэтому должна быть девятка.

Мы добились первого успеха — угадали первое поле! Заканчивай, Читатель. Это очень простая схема. И я обращу внимание на способ доказательства. Мы использовали несложный косвенное рассуждение. Чтобы доказать, что одна из двух возможностей верна, давайте на мгновение рассмотрим одну из них. Если мы можем показать, что это невозможно, остается второе.

Это очень красивая линия рассуждений. Адвокаты назвали бы его косвенный процесс. Пример? В классе сломалась лампочка. У всех, кроме одного студента, есть алиби. Последний наказывается. Его признали виновным? Математически да. С человеческой точки зрения, нет. Давайте мудро использовать математическую логику в нашей повседневной жизни. Непрямые доказательства — мощная сила в математике. Вообще они прекрасны именно тем, что мы сначала «парим в облаках» и только через какое-то время приходим на землю. Они заслуживают отдельного исследования. Но это выходит за рамки нашего математического уголка, особенно этого.

Несколько слов о детском саду

Казалось бы, эта ментальная игра, популярная в Польше уже несколько лет, является старым японским упражнением для ума, основанным на особом типе числового воображения. Вот, например, указ Император Хуранагуре с 1979 века предусматривалось, что любой самурай, недостаточно опытный в судоку, должен совершить сэпуку. Ничего из этого! Дело совсем новое. Игра была придумана американцем Говардом Гарнсом в 2005 году под прозаичным названием «Числовое место», но только примерно в XNUMX году ей (игре) удалось завоевать широкую международную популярность. И я заинтересовался этим только сейчас.

Я воспользуюсь возможностью представить игру таким образом, чтобы читатель понял разницу между головоломками (даже самыми сложными) и математикой (даже очень простой). В этой статье: как решать судоку, как расставлять числа, сколькими способами это можно сделать?

Начнем с детского сада. Внимание: под макетом судоку я буду понимать полную схему, построенную по правилам. Теперь как раз о построении таких полных диаграмм.

2. Кубик судоку детский сад

Задание 1. Судоку игра с двумя числами. В видимом на рыс. 2 Цифры 1, 2 введите в кружочки так, чтобы они не повторялись «по горизонтали» или по вертикали. Сколькими способами вы можете это сделать? А в кубе? Легкая задача? Конечно, это… легко. Все сразу видят такой куб, верно?

Я не буду представлять Читателя здесь в геометрия многомерных пространств. В другой раз. Отмечу лишь, что заполнять вершины куба любой размерности n по правилам судоку единицами и двойками так же просто, но об этом через месяц.

Всем известен правильный тетраэдр — это пирамида (правильная пирамида) с треугольным основанием. Можно ли в его вершинах записать числа 1, 2 так, чтобы каждое ребро было «однозначным»? Не можем. Каждый найдет легкое оправдание. Но мы требуем слишком многого. Это не будет работать даже с тремя числами.

Трех номеров будет достаточно для правильный октаэдр. Это красивое, эстетичное и недооцененное тело (3).

Задача для старшеклассниковСколько октаэдров возможно?

Решение. Мы можем выбрать число в первой вершине четырьмя способами. Предположим, что 1 выбрано, как в рыс. 3. Тогда в квадрате, который является «экватором» нашего тела, мы можем положить два два и два три. И это все, что у нас есть степени свободы. Восемь.

2. Кубик судоку детский сад

Мы можем установить девять чисел, таких как na рыс. 4, ш магический квадрат. Это квадрат, в котором суммы чисел по вертикали, горизонтали и диагонали равны. Мы называем эту общую сумму магическая сумма квадрата. Теория магического квадрата была очень популярна в XNUMX веке. В настоящее время он снова вернулся в пользу математиков, и это, конечно, благодаря компьютерам. Впрочем, путешествие по магическим квадратам мы оставляем на другое время.

Дети дошкольного возраста составят три числа (5) судоку.

Задача. Как диаграммы с рыс. 5? Как мы можем получить других?

4. Простой магический квадрат

5. Судоку с тремя числами

5а. Судоку игра с тремя числами

Прыжок на микрокурсе

Давайте перейдем к более сложной схеме: четыре числа на 1-клеточной доске. В каждом квадратике должны стоять все числа 2, 3, 4, XNUMX и ни одно из них не может встречаться дважды в горизонтальном или вертикальном ряду. Во-первых, давайте проверим, можем ли мы поставить числа таким образом? Если да, то сколькими способами? И здесь начинается математика, на университетском уровне.

6. Судоку с четырьмя числами в квадрате

Схемы, такие как на рыс. 6 легко построить, используя только простую логику. Однако математик хотел бы иметь алгоритм — программируемый метод. В идеале он должен быть настолько общим, чтобы его можно было применять к другим, более сложным задачам. Ведь именно поэтому у нас есть современные «говорящие инструменты» (как в древности пользовались рабами) — наши ноутбуки, ноутбуки и смартфоны.

Один ученик спросил учителя:

—

Учитель не унывал:

—

Как мы все знаем, компьютеры живут в черно-белом мире с нулевой единицей. Либо что-то есть, либо этого нет. Современная мода и императив — все переводить в последовательность нулей и единиц. У нас даже есть соответствующий офис (Министерство цифровых дел). Картины Рафаэля и Рембрандта, симфонии Бетховена, «Пан Тадеуш», видео с Адамом Малышем, прыгающим на чемпионат мира (но не сам Малыш как человек), атмосферное давление и управление Jumbo Jet — все это лишь последовательность нулей и единиц. .

Эти возвышенные отступления облегчат мне переход к микротечениям математики, а точнее к началам современной науки. алгебра.

Символ Z₂ обозначим множество, состоящее только из нуля и единицы. Математики говорят: «Группа Z₂«. Хотя он такой маленький, вы можете добавить в него числа. Просто 1+1=0. Известно, например, понаслышке Логическое сложение (Джордж Буль, английский математик середины девятнадцатого века). Часто вместо «бинарного» мы просто говорим «логический». С этим трудно не согласиться: если дважды (через определенный промежуток времени) нажать на электроконтактную кнопку, снова станет темно.

Теперь давайте рассмотрим, что математики называют простое произведение двух копий Z₂. Это похоже на плоскость, где у нас есть только два числа на обеих осях: 0 и 1. Как нам сложить пары (a, b), где a и b — только XNUMX или XNUMX? Как в Таблица 1.

Теперь пронумеруем пары: 00 — №1, 01 — №2, 10 — №3, 11 — №4. Интерьер столы 1 изменится на:

Это еще не судоку. Но давайте поменяем местами второй ряд с третьим (и раскрасим его для эффекта). Теперь он согласен: там, где надо, разные номера.

Это не так просто. Может быть, наш алгебраический алгоритм сработает и для настоящих судоку? Предвосхищая содержание будущей статьи: да. Нам останется только углубиться в теория групп.

Как видите, пока мы учимся расставлять соответствующие конфигурации. О догадках — тогда.

В поисках мышления

Обучая математике, мы хотим научить вас мыслить, смотреть на мир с точки зрения «О, как интересно!», а также искать аналогии, сходства и, наоборот, анализировать различия. Я сам удивился, когда обнаружил аналогию «треугольного судоку» с известной задачей Хьюгона Штайнхауса, сначала математик из Львова, потом из Вроцлава. В его неоднократно издававшейся книге «Сто задач» мы находим следующее:

7. Какое отношение это имеет к судоку?

8. Треугольная сеть на плоскости

9. Судоку с двумя элементами в кубе. Каждый край красный/синий

Плоскость покрыта треугольной сетью (рыс. 8). Можно ли поставить в вершинах этой сети знаки «плюс» или «минус» так, чтобы всегда выполнялось правило: если в двух вершинах треугольника разные знаки, то в третьей стоит «минус», а если так же, то «плюс»? Конечно, везде можно поставить «плюс», но мы отвергаем это тривиальное решение.

Решение. Взгляни на рыс. 7 и помните, что красный — «теплый», а синий и зеленый — «холодный». Ставьте «плюс» там, где тепло, и «минус» там, где холодно.

10. Судоку с шестью числами. Каждая горизонтальная строка, каждая вертикаль и каждый выделенный прямоугольник содержат все числа от 1 до 6 на данный момент.

***

11. Задача собственно. Вы можете видеть сетку куба (и на рис. 12 его сложенную модель). Вы можете увидеть основание собора, построенное на крестообразном плане. Используя рис.6 и табл. 3 построить судоку из четырех чисел на кубике. Кружки, отмеченные одним цветом, прилипнут к углу (вершине) куба. Задача несложная, правда? Давай, усложняй. Так как? Ах, вот это работа!

Пока только учимся договариваться судоку, т.е. заполнять различные фигуры числами так, чтобы создавалась соответствующая конфигурация. Найдите другие интересные макеты. Создайте свой собственный судоку. Возможно, на правильном додекаэдре? Будет ли это интересно? Я не знаю.

12. Сетчатый куб на рис.11

***

7-10 февраля в Торуни прошла 29-я конференция учителей математики. На самом деле все согласились, что это неправильно. Что, несмотря на декларацию, в школе до сих пор не учат мышлению и что неизвестно почему. Как я уже писал, я пытаюсь восполнить эту задолженность и серьезно призываю своих учеников решать судоку. И как, то есть знамение времени, таково наблюдение.

13. Еще одно задание. Постройте судоку с шестью числами на плане швейцарского креста. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 не могут повторяться ни в горизонтальных, ни в вертикальных рядах, ни в «угловых» прямоугольниках (их четыре), ни в «средних» прямоугольниках (тоже четыре).

Во время одного из докладов на конференции лектор минут двадцать расхваливала свой проект, как будто это рекламный ролик. Она не сказала ни грамма конкретики. На мой вопрос, что, может быть, она приведет пример последствий своих действий, она ответила:

—

Это знамение времени: мы найдем все на правильной странице. Такое развитие научных дискуссий предвидел (да и весь интернет) литератор, незаслуженно удостоенный Нобелевской премии Станислав Лем (1921-2006). Подробности в его книге «Возвращение со звезд». Вот мой совет читателям: найдите интересные сайты о математической стороне судоку. Вернусь к теме через месяц. Будет много абстрактной алгебры и многомерной геометрии.