Старые блоки, то есть ищущие новые формы
Недавно я был на очень интересной дискуссии — это была фактически встреча памяти плюс немного футурологии по случаю 25-летия Интернета в Польше. На мой взгляд, в более широком обиходе она появилась лишь около 2000 года. Помню свое восхищение электронной почтой. «Как легко! Если я хочу пообщаться с другом из Франции, все, что мне нужно сделать, это пойти в университет, немного постоять в очереди и позвонить коллеге, чтобы он забрал письмо». Сегодня неудивительно, что мы обсуждаем одновременно со всем миром. Но… ну, в юности я писал письма своим друзьям из Кракова, своим братьям и сестрам, Марысе и Сташеку. Я помню, что всегда писал в среду, а ответ приходил в понедельник. Это был хороший ритуал. Сегодня мы можем общаться в любое время: по электронной почте, мобильному телефону, стационарному телефону, Facebook… и пишем друг другу раз в год.
Первые железные дороги в Польше начали строить до 1850 г., а в 1875 г. их сеть была довольно густой. Через 25 лет после изобретения радио это было довольно распространенным явлением. Каждое из этих изобретений изменило жизнь целых обществ. Это тривиальная и очевидная истина.
1. Блоки Лего — классический вариант
После этого длинного вступления я, наконец, скажу, что я имею в виду. Для школы, для обучения. Интернет и компьютеры в целом изменили мир. Приходится меняться и учить. Я не имею в виду все виды электронного обучения. Это всего лишь протезы, это просто попытка использовать новые методы старины, установить мотор «Роллс-Ройс» на тележку-лестницу. Я не представляю, как и чему учить в будущем.
История — учитель жизни. Давайте воспользуемся нашим опытом и попробуем поискать в прошлом что-то, что можно преобразовать в будущее.
Не менее трети школьных занятий по геометрии в «мои» времена занимали строительные задачи. Я заставлю младших читателей понять: речь шла не только о том, чтобы что-то нарисовать. Единственными допустимыми приспособлениями были циркуль и линейка не потому, что это самые простые и дешевые приспособления, а потому, что они были известны уже в древности: натянутая веревка есть модель прямой, и дугу тоже легко провести круг с ниткой. Строительные задачи пришли из Греции, они пережили Средневековье, Ренессанс, Просвещение, капитализм XNUMX века… и три четверти XNUMX века. Они были отстранены от преподавания по справедливости. Они были анахронизмом, и что-то нужно было удалить, чтобы приспособиться к новому содержанию.
Однако у этих задач было три очень важных преимущества. Очень хорошо научили думать, в том числе алгоритмическому мышлению. Во-вторых, давали мануальные упражнения и развивали ловкость руки. В-третьих, это были задачи, в которых создавалось конкретное произведение: рисование. Почти материальный продукт, а не решение уравнения, существующее только в уме. Таких задач по математике немного.
В поисках новых форм обучения я вспомнил кубики Lego. Настоящие кубики из детства… хотя в игре ничто не заменит настоящих, деревянных. Большое разнообразие размеров, цветов и форм кубиков Lego делает их подходящими для использования в дошкольных учреждениях и университетах. Я имею в виду классические блоки — только прямоугольные кубики с характерными кнопками. Строить из них не только весело, но и влияет на воображение.
Коллега, которому я это рассказал, был неприятно удивлен: «почему кирпичи, у компании наверняка есть программы для создания любых головоломок. Вы нажимаете, и у вас…». Я был ошеломлен… но еще мне запомнился рассказ учителя, который в одном классе показал детям феномен «сломанной ложки» в чашке с водой. Студенты были удивлены и взволнованы. В параллельном классе он провел компьютерную симуляцию — ученики восприняли ее равнодушно. Вы знаете, все можно сделать в фотошопе.
Упражнение 1 (детский сад). Покажите блоки: а) длинные, б) короткие, в) широкие, г) узкие, д) маленькие, е) большие, ж) квадратные, з) продолговатые, и) черные, к) белые, л) светлые, м) темные . Назовите все цвета, которые вы видите. Какие цвета теплые, а какие яркие? Автор статьи — в этом отношении типичный мужчина, для которого лососевый, бордовый и кармин — это одно и то же красное, но теория знает, что это другое, и не думает, что мальчиков надо воспитывать в таком невежестве.
3. Где находится передняя часть стрелки? Что слева, а что справа?
Упражнение 2а (в версии для студентов XNUMX курса информационных технологий). В видимом множестве блоков введем отношение эквивалентности, считая блоки эквивалентными, если они имеют одинаковый цвет. Опишите классы абстракции этого отношения. Опишите классы эквивалентности отношений, в которых блоки одинакового размера считаются эквивалентными.
Упражнение 2б (то же, но в варианте для дошкольников). Сгруппируйте блоки по цвету, а затем по размеру. Перейдем к начальной школе или хотя бы к материалу, понятному даже семилетним ученикам. Сначала немного для взрослых (учителей). У нас есть естественная склонность к биполярному зрению. Где фронт, там и тыл, где лево, там и право, верх и низ идут рука об руку, правда с ложью, юг с севером, восток с западом. Чем был бы Рай без перспективы Ада? Если бы не было плюса, минус был бы не нужен. Хет худа без добра. Кейн Роуз Оне Дорнен. Всякий раз, когда вы выигрываете, вы проигрываете. У доктора Джекила есть свой мистер Хайд, а у Бэтмена есть свой Джокер. Все, кто выучил иностранный язык, прошли соответствующее упражнение: укажите антоним слова, например, полный-пустой, толстокожий, широкий-узкий. Это известное из логики дихотомическое деление, простейшая классификация понятий и вещей: на два класса.
Упражнение 3. На фото 1 покажите, какие кирпичи вы бы расположили парами. Зачем тебе это? Упражнение 4. Вы бывали в Пенинах, посещали Красный монастырь, плыли по реке Дунаец, видели Три Короны? Я был… и собрал такую картину (2). У меня нет художественных способностей — сделайте лучше. Но видите ли вы на моей картине Czerwony Klasztor (это красный дом), белую (потому что известняковую) вершину Trzy Korony, зеленые поля, темные горы, желтое солнце и фиолетовый пешеходный мост через реку Дунаец на словацкой стороне? Вы, конечно, можете.
Упражнение 4. Вы были в Пенинах, посетили Красный монастырь, плыли по реке Дунаец, видели Три Короны? Я был… и собрал такую картину (2). У меня нет художественных способностей — сделайте лучше. Но видите ли вы на моей картине Czerwony Klasztor (это красный дом), белую (потому что известняковую) вершину Trzy Korony, зеленые поля, темные горы, желтое солнце и фиолетовый пешеходный мост через реку Дунаец на словацкой стороне? Вы, конечно, можете.
Где здесь математика? Взгляните на Дунаец. Вы видите, что в нем все отражено? Верхняя половина изображения «такая же», как и нижняя половина. Точнее, не одинаковые, просто… ну, симметричные. Математики называют это зеркальная симметрия или осевой. Все зеркально.
И горит ли стрелка ФОТ. 3 симметричен? Это зависит, конечно, от того, обращаем ли мы внимание на цвета или нет. Математики сказали бы: мы абстрагируемся от цветов или нет? Абстракция — это выделение одного интересующего нас признака из набора признаков данного объекта. Г-н Ковальски обратит внимание на марку автомобиля, г-жа Ковальска — на цвет. Где лицевая, а где изнаночная сторона фигуры на ФОТ. 3? У нас нет сомнений — стрелка летит «вверх», красный свет слева и зеленый свет справа. Так обстоит дело с воздушным движением, что теоретически означает «обгон справа». Теоретически, потому что самолеты не участвуют в гонках, как автомобили. Кстати, заметим, что естественное направление, указываемое стрелкой, было бы понятно только цивилизации, которая привыкла стрелять из лука! Трудно делать какие-то общие утверждения, потому что мы не знаем никакой другой цивилизации.
4. Параллелизм. Переместите каждый блок на две кнопки вправо и одну вверх. Итак, у нас есть прямые линии с направлением [2, 1]
5. Перпендикулярность. Блоки каждой строки поворачиваются на 90 градусов относительно блоков другой строки. Вы можете видеть, что направление, перпендикулярное [3, 1], равно [-1, 3] или [1, -3]
6. Из каких кирпичиков можно сформировать зеленую «салфетку»?
Я обучаю студентов информатике. Им трудно математически выразить параллельность и перпендикулярность. В этом году я угостила их такими иллюстрациями, как Ступня. 4 и 5.
Ступня. 4 и 5 они также дают прекрасный пример абстракции. Ни синие, ни желтые, ни зеленые блоки на этих фотографиях не образуют прямой линии. И все же мы «видим» эти строки там. Мы можем абстрагировать их от рисунка. Кубики Lego хорошо учат творчеству.
Упражнение 5. Зеленая «салфетка» на ФОТ. 6 можно сделать из блоков размером 4 х 2? Имея в своем распоряжении блоки размером до 2 х 8, сделайте эту «салфетку» из как можно меньшего количества.
Упражнение 6 (для старшеклассников). Вычислите поле салфетки на зубчике. На ФОТ. 6 вы видите восьмизубую салфетку.
Решение. Дополним эту фигуру до полного квадрата треугольниками, один из которых виден на ФОТ. 7. Если на одной стороне n углов, то каждый из дополнительных треугольников имеет следующую площадь: сначала 6, затем сумма арифметической последовательности n-2 членов (из них начальный равен 8) и разности 6. Это равно 3n2-13n+26. Квадрат имеет сторону 4n + 2, общая площадь фигуры равна (4n + 2) 2 — 4 (3n2-13n + 26) = 4 (n2 + 17n-25).
7. Заполнение квадрата «салфетки»…
8. «Салфетка» наполненная
Упражнение 7. Вычислите поля такой «салфетки» (8)
Задача. Какую формулу сокращенного умножения вы видите в ФОТ. 9?
9. Блоки, или формула укороченного умножения?
