Шахматная доска и шахматные фигуры

Мне очень нравится старая (1980) серия Анджея Вайды «С годами, с течением дней», составленная из умело скомбинированных экранизаций произведений писателей из «Молодой Польши», в том числе «Жирная рыба» Михала Балуцкого, «Госпожа. Мораль Дульской» и «Сезонная любовь» Габриэлы Запольской. Действие происходит в 1874-1914 годах в Кракове. Одной из маленьких нитей, которые переплетаются на протяжении всего сериала, является сцена игры в шахматы двух джентльменов. Что ж, господа уходят (в мир иной), ритуал остается. Всегда один из них (в последнем эпизоде ​​Збышко Дульски) говорит своему окружению: «оставьте меня в покое, потому что это очень важный поезд» — ведь в Галиции люди привыкли говорить «струна» вместо «шахматного хода», но мы можем простить директора за это.

Шахматы перестают быть общественным развлечением, но преуспевают как вид спорта. С прошлого учебного года он включен в учебную программу обычных начальных школ (!) — пока что в десятке с лишним пилотных учебных заведений и рассматривается там всерьез как один из предметов. Эту инициативу следует приветствовать с энтузиазмом. Мы кричим, чтобы научить детей думать. Лучше всего для этого подходит математика, это правда, но не единственная, и она даже не должна быть единственной. Монополистическая практика никому не идет на пользу.

1. Классическая доска 8 на 8. По правилам игры в этой версии внизу справа есть белое поле.

Это побудило меня снова вернуться к математике квадратной и цветной квадратной доски. Другой — потому что я писал об этом много лет назад в «Математических разновидностях». Я постараюсь как можно меньше повторять старые темы, хотя это было действительно давно, в прошлом тысячелетии и для другого поколения читателей. Тогда считалось, что компьютер не победит человека.

Так что несколько выпусков нынешних «Математических варьете» будут посвящены шахматам, хотя на самом деле фоном выступает сама игра в шахматы. Меня интересует интересная математика, стоящая за этим.

Я буду называть «задачу», например, эту команду:

Задание 1. Запомните, как закодированы клетки доски, названия фигур, взятие и опасный шах. Самый классический дебют игры — 1.e2-e4 e7-e5. Сделайте эти движения или просто представьте их.

2. Движение шахматного коня — с красной точки конь может запрыгнуть на одну из синих.

Задание 2. (легко, нет ответа). Если придерживаться правила, что белая клетка находится внизу справа, то каких клеток больше на нечетной шахматной доске: белых или черных? На сколько больше?

Задание 3. Вы наверняка знаете, как ходит шахматный конь: после буквы L или Γ. Другими словами: он может перепрыгнуть с занятой клетки на клетку, которая находится «вдали» (1, 2) или (2, 1), то есть на одну клетку в заданном направлении и на две в другом перпендикулярном направлении. Математически это можно выразить следующим образом: новая позиция — это старая плюс один из векторов [1, 2], [-1, 2], [1, -2], [-1, -2], [2]. , 1], [2, -1], [-2, 1], [-2, -1]. Если вы не знаете, что такое вектор, посмотрите так: прыжок вектора [1, 2] — это просто прыжок на одну клетку вправо и на две вверх. Конечно, вы догадываетесь, что [-1, 2] — это прыжок влево на один и два вверх, а [-1, -2] означает «один влево, два вниз». Из любой точки доски, не слишком близко к ее краю, мы можем прыгнуть на восемь клеток. Возможные положения образуют красивый восьмиугольник, к сожалению, он неправильный (рис. 2).

3. Путь коня (коня) на 25-клеточной шахматной доске.

Покажите, что на доске 8 на 8 лошадь может пройти с любой клетки на любую другую. Как он собирается попасть из одного угла в другой? А с квадрата на соседний квадрат? Теперь посмотрите на рис 3. На доске из 25 клеток изображена дорожка шахматного коня: каждая клетка используется. Найдите в Интернете диаграммы лошадей на шахматной доске 8 на 8. Некоторые из них очень эстетичны.

Задание 4. Покажите, что на доске 5 на 5 нет замкнутого пути задней бабки, то есть такого, который позволяет перепрыгнуть с последнего квадрата обратно на первый. Подсказка: задняя бабка меняет цвет поля при каждом прыжке.

Покажу один из способов построения замкнутой дороги для коня (коня) на шахматной доске 8 на 8. Таких способов много. Один из самых простых дал английский врач, филолог и математик-любитель. Питер Марк Роже (1779-1869). Делим шахматную доску на четыре клетки, в которые вписываем буквы a, b, c, d — в том же порядке, что и на рис 4. Начинаем практически с любого поля (есть некоторые ограничения), например с поля отмеченного с большой буквы А. и сначала в левом квадрате, затем в правом верхнем, затем в правом нижнем и левом нижнем. Через шестнадцать ходов перепрыгните к букве b — поменяйте цвет линии с красного на фиолетовый (рис. 5), затем перейдите к букве c (зеленая линия) и закончите штрихами — синяя линия.

Господство королев

4. Принцип построения замкнутой дороги задней бабки на шахматной доске 8 на 8.

Я много лет преподаю линейную алгебру в негосударственном вузе. Там студенты борются с несколькими понятиями, включая «поколение» и «независимость». Посмотрим на рисунки 5 и 6. Мы видим, что дамы (королевы) стоят характерным образом. Каждую клетку шахматной доски атакует хотя бы один ферзь. Меньше ферзей взять нельзя. Математически: это минимальная генерирующая система.

Задание 5. Сколько ферзей вам нужно, чтобы «контролировать» доску 8 на 8? Я не дам ответа. Он доступен на www.flyordie.com/chess/queendomination — там же можно эффективно попробовать собственные настройки (сайт предлагает решения).

Задание 6, старшая школа. Я буду использовать шахматы для задачи, которая теоретически соответствует школьному уровню, и решить ее может практически любой. Сколько существует способов пройти из левого нижнего угла в правый верхний, если предположить, что мы движемся в одном поле вдоль вертикальной или горизонтальной ленты? Диагональный прыжок — как шахматный король — не допускается.

5. Один из способов построения замкнутой траектории задней бабки на шахматной доске 8 на 8.

Я дам вам решение. Но сначала комментарии.

Матура в ее нынешнем виде выполняет свою задачу. Это хорошо проверяет навыки молодых людей. Однако идеальной системы не существует. Большой недостаток действующей методики обследования заключается в том, что она навязывает такую ​​закономерность, что после получения задания учащиеся сразу ищут формулу, в которую можно подставить данные, чтобы получить результат после определенных счетов. Хуже — даже удивляются, что есть задания другого типа, а именно типа «сначала подумай!» или «сначала используйте один шаблон, затем другой». «Понимание прочитанного» очень плохо.

В двух параллельных группах я однажды дал по сути одно и то же задание.

В одном было: «Есть числа: 2, 3 и 5. Вычисли сумму обратных величин их квадратов».

Во втором: «Вычислить значение выражения

для a = 2, b = 3, c = 5″.

5. Четыре ферзя защищают каждую клетку на доске 6 на 6, т. е. каждая клетка (кроме тех, на которых они стоят) проверяется одной. Ни одно не проверяет другое — математически это означает, что система независима.

Больше всего (!) студентов первой группы «попало» на семантический анализ кластера «сумма обратных квадратов». В свою очередь, почти все студенты второй группы справились с заданием правильно, хотя у некоторых из них возникли трудности со сложением дробей.

Задание 8. Ну а что такое «обратная сумма квадратов»? А обратное значение суммы квадратов? А квадрат обратной суммы? Может быть, это то же самое?

Задание 9. — тоже не по шахматной тематике, но однажды я отдал их для решения на коллоквиуме и потом студенты сказали мне, что напишут жалобу декану, что я «мобью»: я их садистски мучаю страшными заданиями. Звучал он примерно так: «Вычислите произведение последовательных целых чисел от -111 до +178». Должен признаться, когда они поняли, что происходит, то посмеялись над собой.

я возвращаюсь к задания 6. Едем с юго-запада на северо-восток. Выберем попутчика для путешественника. Представьте себе, что два угла — это две предгорные деревни в невысоких, покрытых травой горах, покрытых пастбищами, так что тропы ведут только в направлении восток-запад или север-юг. Диагональ квадрата – это высокий гребень. Мы должны добраться до него, а затем выйти из него.

6. На доске 11 на 11 нужно пять ферзей. Поля, атакованные одним ферзем (зеленым), двумя (желтыми) и тремя (красными), отмечены.

Сколько путей ведет от синего квадрата (рис. 7) до северо-восточной точки хребта? Один из них, конечно: на север каждый раз. Мы закодируем его как 1111111 (семь единиц). Мы напишем 0, чтобы указать, что мы идем дорогой на восток («горизонтально вправо»). Тогда две дороги, ведущие из юго-западного угла, это 0011100 и 1111100. Такие наборы единиц и нулей соответствуют десятичным числам 4 + 8 + 16 = 28 и 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 252.

Цифры на диагонали («на коньке») показывают, сколькими способами можно попасть из одного угла в конек. Это следует прямо из Треугольник Паскаля (знания средней школы даже на начальном уровне). Представим себе, что два туриста, один из которых живет в «синем» городе, а другой в «красном», договорились о встрече в условленном месте на хребте. Они в таком же состоянии, ходят так же быстро, поэтому по телефону сказали друг другу, что все выйдут в девять и, возможно, подождут несколько или дюжину минут на гребне.

Если они назначили встречу в одной из «35» точек, то у каждого есть 35 способов туда добраться. В сумме это 35² возможности сине-красной дороги. Это касается любого другого места встречи. Таким образом, сумма возможностей равна 1.² + 7² + 21² + 35² + 35² + 21² + 7² + 1² = 3432.

Более опытные читатели могут подсчитать, что если размер шахматной доски n на n, то таких путей существует

Для n = 3 это дает 4

7. Дорога от синего квадрата к красному квадрату разбивается на две части — от угла к «хребту» (диагональ) и спуск к другому углу.

При n = 10 это уже 48320. Такое увеличение называется экспоненциальный. Он напоминает лавину, чем быстрее он падает, тем быстрее увеличивается в объеме и умножает разрушительную силу.

Задание 10. Используя шахматную доску, покажите, что сумма последовательных нечетных чисел равна квадрату натурального числа.

Зарисуйте решение. Смотрим на рисунок 1. Считаем черные ящики, начиная с а1 и группируясь в диагональные ряды: сначала а1, затем а3 b2 с1, затем а5 b4 с3 d2 е1, затем от а7 вправо вниз.

То же самое проделываем с северо-восточной стороной доски, а затем то же самое делаем с белыми квадратами.

Шахматы и основы математики

Теперь я воспользуюсь шахматами и на их примере объясню особенность математических исследований. Открытие этой особенности (Курт Гёдель, 1938 г., позднее добавление — Пол Коэн, 1963) потрясла основы математики. В основном речь шла о существовании или несуществовании определенных видов бесконечности. Легко показать, что, например, бесконечность, которая задается последовательностью 1, 2, 3, 4, 5, 6,…. , отличается от числа, состоящего из всех действительных чисел: положительных, отрицательных, дробей (рациональных чисел) и иррациональных. На пороге ХХ века бесспорный лидер математики того времени, Дэвид Хилберт (1862-1943), сформулировал 23 задачи для математиков ХХ века. Вопрос номер один заключался в том, есть ли другой, отличный от обеих этих бесконечностей?

8. Шесть разных дорог, соединяющих юго-западный угол с северо-восточным. Обратите внимание, что четыре из них (и, следовательно, две трети) проходят через средний квадрат.

Вопрос как вопрос. Задача, которую нужно решить. Либо да, либо нет. Либо есть бесконечность, либо ее нет, верно? Могло ли быть иначе?

Может быть! Это то, что показал Курт Гёдель. Ни да, ни нет! Я буду использовать шахматы. Посмотрим на рис. 9. Здесь мы видим определенное расположение фигур на шахматной доске.

Продолжаем играть, посмотрим, кто победит.

Кажется, у белых сокрушительное преимущество. Ход черных, очевидно, черный, потому что черный король находится под шахом. Спасение только в том, что ферзь берет шахматную пешку, которую тут же бьет белый слон с g3. Правда, черный король спасается, убив храброго слона, но тут белая пешка, защищенная ладьей сзади, выходит на поле d8, превращается в ферзя, и мат!

Аргументация в порядке. Дело, однако, в том, что такое расположение фигур не может происходить в реальной игре, даже в самой причудливой игре, в которую играют игроки.

Во-первых, у белых пять слонов. Само по себе это не противоречит правилам, ведь до восьмой дорожки могли дойти три пешки, и белый игрок решил, что хочет превратить их в слонов. Но более тщательный анализ показывает, что это могли сделать только пешки из столбцов а и б. Пешки из столбцов с, d, h все еще остаются на доске, а черный ряд пешек в правом верхнем углу не может быть пересечен белый. Кроме того, черный слон не мог находиться в правом верхнем углу (потому что он не мог перепрыгивать через черные пешки). Поэтому можно сказать, что эта позиция не относится к игре в шахматы. Этого нельзя достичь по обычным правилам игры.

То же самое (к удивлению самих математиков) и в математике. Именно в этом состояло открытие Курта Гёделя ровно восемьдесят лет назад. Он показал, что есть утверждения (утверждения), которые принадлежат математике (даже арифметике) и которые нельзя доказать, но нельзя доказать их ложность.

Другое сравнение, где это можно понять, относится к литературе.

Какой номер обуви носил Генрик Сенкевич? Мы не знаем, но, может быть, обнаружим, потому что, может быть, сохранились книги какого-нибудь магазина, где было написано: «Г-н Хенрик Сенкевич купил себе у нас черные туфли № 43». Маловероятно, но в любом случае какой-то номер обуви был. А под каким номером был Шерлок Холмс? Здесь мы можем принять практически любой ответ и ни один из них не будет соответствовать действительности, потому что реальности нет! Есть только художественная литература.

— скажет Читатель. —

Ответ неутешителен: «настоящего» нет.

Математика — не естественная наука, она не изучает мир за окном — она исследует свой собственный, выдуманный мир. И хорошо ли это соответствует действительности? Сами математики удивлены.

Следующая, более серьезная забота Читателя может заключаться в следующем: верить ли математике? И тут всех успокою: в области всех инженерных, экономических, финансовых и всех «земных» расчетов математика едина и достоверна, хотя и не пригодна для наук, где точность не является принципиальным признаком: филологии, психологии, философии и история. Да, описательная статистика имеет значение. Вряд ли что-то еще. И очень хорошо.

Такие задачи, о которых я сегодня писал, кажутся классическими головоломками, не имеющими практического применения. Так что, если сколько ферзей можно разместить на доске? Может ничего, но я думаю, что все мы любим головоломки.

Во-вторых, и это более важно, такие задачи вытекают из насущных задач современной математики: что сделать, чтобы «что-то» (= компьютер) работало эффективно, чтобы поисковые машины были лучше и точнее? Одним словом: оптимизация, нужная на каждом шагу.