Почему мы не делим на ноль?

Читатели могут удивиться, почему я посвящаю целую статью такому банальному вопросу? Причина в ошеломляющем количестве студентов (!) небрежно проводящих операцию под названием. И не только студенты. Иногда ловлю и учителей. Что смогут делать по математике ученики таких учителей? Непосредственным поводом для написания этого текста послужила беседа с учителем, для которого деление на ноль не представляло проблемы…

С нулем, да, кроме хлопот вообще ничего, потому что нам не особо нужно его использовать в повседневной жизни. Мы не ходим в магазин за ноль яиц. «В комнате один человек» звучит как-то естественно, а «ноль людей» — искусственно. Лингвисты говорят, что ноль находится вне языковой системы.

Мы можем обойтись без нуля и в банковских счетах: просто используя — как на термометре — красный и синий для положительных и отрицательных значений (обратите внимание, что для температуры естественно использовать красный цвет для положительных чисел, а для банковских счетов — наоборот, потому что дебет должен вызвать предупреждение, поэтому настоятельно рекомендуется использовать красный цвет).

Включив ноль как натуральное число, мы коснемся проблемы дифференцирования Количественные числительные od домашнее хозяйство. В пределах 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

мощность числа совпадает с числом места, на котором оно стоит. В противном случае он уже находится в последовательности 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, … ..

Количество одноэлементных наборов идет вторым, количество наборов с двумя элементами идет третьим и так далее. Приходится объяснять, почему, например, мы не нумеруем места спортсменов в соревнованиях на пустом месте. Затем занявший первое место получал серебряную медаль (золото доставалось победителю, занявшему нулевое место) и т. д. Несколько похожая процедура использовалась в футболе — не знаю, знают ли Читатели, что «первая лига» означает «следующая за лучшей». «, а нулевая лига называется стать «высшей лигой».

Иногда мы слышим аргумент, что надо начинать с нуля, потому что это удобно для айтишников. Продолжая эти рассуждения, следует изменить определение километра — оно должно быть 1024 м, потому что это количество байтов в килобайте (сошлюсь на известный компьютерщикам анекдот: «Чем отличается первокурсник от студент информатики и студент пятого курса этого факультета? что килобайт это 1000 килобайт, последний — что километр это 1024 метра»)!

Другая точка зрения, к которой уже следует относиться серьезно, заключается в следующем: мы всегда измеряем с нуля! Достаточно посмотреть на любую шкалу на линейке, на бытовых весах, хоть на часах. Поскольку мы измеряем от нуля, а подсчет можно понимать как измерение безразмерной единицей, то и считать следует от нуля.

Дело простое, но…

Оставим общие рассуждения и вернемся к делению на ноль. Дело простое и было бы простое, если бы не… ну и что? Давайте подумаем, попробуем. Сколько это может быть — один разделить на ноль? Посмотрим: 1/0 = х. Умножаем обе части на знаменатель левой части.

Получаем 1=0. Что-то не так! Что случилось? Ах, предположение! Предположение, что существует частное единицы и нуля, приводит к противоречию. И если одно нельзя разделить на ноль, то можно и другое число. Если, Читатель, ты пожмешь плечами и удивишься, почему автор (то есть я) пишет о таких банальностях, то… я очень рад!

Формулу 0/0 = 0 можно было бы отстаивать на упорном, но она противоречит правилу о том, что результат деления числа на самого себя равен единице. Совершенно, но совсем другими являются такие символы, как 0/0, °/° и им подобные в математическом анализе. Они не означают никакого числа, а являются символическим обозначением частных последовательностей определенных типов.

В книге по электротехнике я нашел интересное сравнение: делить на ноль так же опасно, как электричество высокого напряжения. Это нормально: закон Ома гласит, что отношение напряжения к сопротивлению равно току: V = U / R. Если бы сопротивление было равно нулю, по проводнику протекал бы ток теоретически бесконечной силы, сжигая все возможные проводники.

Однажды я написал стихотворение об опасности деления на ноль — на каждый день недели. Помню, что самым драматичным днем ​​был четверг, но жалко всю мою работу в этой области.

Когда делишь что-то на ноль

Очень ранний понедельник

Неделя, что только что произошло

У вас уже совсем неудачно.

Когда во вторник после обеда,

Вы ставите ноль в знаменателе

Я скажу вам тогда, вы ошибаетесь

Плохой мой математик!

Когда через ноль, через извращенность,

Хочешь разделить в среду,

У тебя будет много неприятностей

У тебя сено и вода в голове!

С нами был некий Бартек.

Он был не в ладах с правилами.

В четверг он делится на ноль.

Его больше нет между нами!

Если странное желание завладеет тобой,

Делить на ноль в пятницу,

Скажу прямо, честно:

Плохое начало этих выходных.

Когда будет ноль, где-то в субботу

Делитель будет твоим (не смелым)

Встаньте на колени под церковной оградой.

Это ваше воскресное покаяние.

Хочешь ноль под тире,

Поставь праздник в воскресенье,

Принесите мел, черную доску.

Пишите: на ноль не делится!

Ноль ассоциируется с пустотой и небытием. Действительно, он пришел в математику как величина, которая при добавлении к любой не меняет ее: х + 0 = х. Но теперь ноль появляется в нескольких других значениях, в первую очередь как начало шкалы. Если за окном нет ни плюсовой температуры, ни мороза, то… это ноль, что не значит, что температуры нет совсем. Памятник нулевого класса — это не тот, который давно снесен и его просто нет. Наоборот — это что-то вроде Вавеля, Эйфелевой башни и Статуи Свободы.

Что ж, важность нуля в позиционной системе трудно переоценить. Вы знаете, Читатель, сколько нулей у Билла Гейтса на его банковском счете? Не знаю, но я бы хотел половину. Видимо, Наполеон Бонапарт заметил, что люди подобны нулям: они обретают смысл благодаря положению. В фильме Анджея Вайды «С годами, с течением дней» страстный художник Ежи взрывается: «Филистер — это ноль, нигил, ничего, ничего, нигил, ноль». Но ноль может быть хорошим: «нулевое отклонение от нормы» означает, что все идет хорошо, и так держать!

Вернемся к математике. Ноль можно прибавлять, вычитать и умножать безнаказанно. «Я набрала ноль килограммов», — говорит Маня Ане. «И это интересно, потому что я похудела на тот же вес», — отвечает Аня. Так что давай съедим шесть ноль порций мороженого шесть раз, это нам не повредит.

Мы не можем делить на ноль, но мы можем делить ноль. Тарелку с нулевыми клецками можно легко раздать тем, кто ждет еды. Сколько получит каждый?

Ноль не является положительным или отрицательным. Это и число неположительныйи неотрицательный. Он удовлетворяет неравенствам x≥0 и x≤0. Противоречие «что-то положительное» — это не «что-то отрицательное», а «нечто отрицательное или равное нулю». Математики, вопреки правилам языка, всегда будут говорить, что нечто «равно нулю», а не «нулю». Чтобы оправдать эту практику, мы имеем: если мы читаем формулу x = 0 «x равно нулю», то x = 1 мы читаем «x равно единице», что можно было бы проглотить, но как насчет «x = 1534267»? Вы также не можете присвоить числовое значение символу 0⁰ни возвести ноль в отрицательную степень. С другой стороны, можно рутировать ноль по желанию… и результат всегда будет нулевой, 

Экспоненциальная функция у = а^x, положительное основание a, никогда не становится равным нулю. Отсюда следует, что нулевого логарифма не существует. Действительно, логарифм а по основанию b есть показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить логарифм а. При а = 0 такого показателя нет, и ноль не может быть основанием логарифма. Однако ноль в «знаменателе» символа Ньютона — это нечто иное. Мы предполагаем, что эти соглашения не приводят к противоречию.

Ложные доказательства

Деление на ноль — обычная тема для ложных доказательств, и это случается даже с опытными математиками. Позвольте мне привести вам два моих любимых примера. Первый — алгебраический. Я «докажу», что все числа равны. Предположим, что есть два числа, которые не равны. Следовательно, один из них больше другого, пусть а > Ь. Предположим, что с — их разность

с = а — Ь. Итак, мы имеем а — Ь = с, откуда а = Ь + с.

Умножаем обе части последнего на a — b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Перевожу ак в левую сторону, конечно помню про смену знака:

a² – ab – ac = ab – b2 – bc.

Я исключаю общие факторы:

А(а-б-в) = б(а-б-в),

Я делюсь, и у меня есть то, что я хотел:

а = б.

И на самом деле еще более странным, потому что я предполагал, что a > b, и я получил, что a = b, Если в приведенном выше примере «обман» легко распознать, то в геометрическом доказательстве ниже это не так просто. Я докажу, что… трапеции не существует. Фигуры, обычно называемой трапецией, не существует.

Но предположим сначала, что есть такая вещь, как трапеция (ABCD на рисунке ниже). Он имеет две параллельные стороны («основания»). Протянем эти основания, как показано на картинке, так, чтобы получился параллелограмм. Его диагонали делят другую диагональ трапеции на отрезки, длины которых обозначаются x, y, z, как в рисунок 1. Из подобия соответствующих треугольников получаем пропорции:

откуда определяем:

Ораз

откуда определяем:

Вычитаем стороны равенства, отмеченные звездочками:

 Укоротив обе стороны на x − z, получим — a/b = 1, значит, a + b = 0. Но числа a, b — это длины оснований трапеции. Если их сумма равна нулю, то и они сами равны нулю. Это значит, что фигура, подобная трапеции, существовать не может! А так как прямоугольники, ромбы и квадраты — это тоже трапеции, то, уважаемый Читатель, и ромбов, прямоугольников и квадратов тоже не бывает…

Угадай-угадай

Делиться информацией — это самое интересное и сложное из четырех основных действий. Здесь мы впервые сталкиваемся с явлением, столь распространенным во взрослом возрасте: «угадай ответ, а потом проверь, правильно ли ты угадал». Это очень точно выразил Дэниел К. Деннет («Как делать ошибки?», в «Как это — научный справочник по Вселенной», CiS, Варшава, 1997):

Этот метод «угадывания» не мешает нашей зрелой жизни — может быть, потому, что мы учимся ему рано и угадывать не составляет труда. Идеологически то же явление происходит, например, в математической (полной) индукции. Там же мы «угадываем» формулу и потом проверяем, верна ли наша догадка. Студенты всегда спрашивают: «Откуда нам было знать закономерность? Как его можно вывести?». Когда студенты задают мне этот вопрос, я превращаю их вопрос в шутку: «Я знаю это, потому что я профессионал, потому что мне за это платят, чтобы я знал». Ученикам в школе можно ответить в том же стиле, только более серьезно.

Упражнение. Учтите, что мы начинаем сложение и письменное умножение с единицы низшего порядка, а деление с единицы высшего порядка.

Сочетание двух идей

Преподаватели математики всегда указывали, что то, что мы называем разделением во взрослом возрасте, представляет собой союз двух концептуально разных идей: Корпус i разделение.

Первый из них (Корпус) встречается в задачах, где архетипом являются:

Разделить-разделить это такие задачи как:

? (мы сохраняем первоначальный стиль этой задачи, взятый из справочника Юлиана Згозалевича, изданного в Кракове в 1892 г. — злотый — это рейнский злотый, валюта, имевшая хождение в Австро-Венгерской империи до начала XNUMX века).

Теперь рассмотрим две задачи с старейший учебник математики на польском языке, отец Томаш Клос (1538 г.). Это дивизия или купе? Решите ее так, как подобает школьникам в XNUMX веке:

(Перевод с польского на польский: В бочке есть кварта и четыре горшка. Горшок — четыре кварты. Кто-то купил 20 бочек вина за 50 злотых для торговли. Пошлина и налог (акциз?) Будет составлять 8 злотых. Сколько продать кварту, чтобы заработать 8 злотых?)

Спорт, физика, конгруэнтность

Иногда в спорте приходится что-то делить на ноль (коэффициент голов). Ну, судьи как-то с этим справляются. Однако в абстрактной алгебре они стоят на повестке дня. ненулевые количестваквадрат которого равен нулю. Это даже можно объяснить просто.

Рассмотрим функцию F, которая ставит в соответствие точку (y, 0) точке плоскости (x, y). Что такое Ф², то есть двойное выполнение F? Нулевая функция — каждая точка имеет изображение (0,0).

Наконец, ненулевые величины, квадрат которых равен 0, являются почти хлебом насущным для физиков, а числа вида a + bε, где ε ≠ 0, но ε² = 0, математики называют двойные номера. Они встречаются в математическом анализе и в дифференциальной геометрии.

В конце концов, в арифметике есть что-то, что хотя бы в названии имеет деление на ноль. Это происходит от конгруэнтность. Пусть Z обозначает множество целых чисел. Деление множества Z на p означает, что мы приравниваем каждое число (целое число) к некоторым другим, а именно к таким, на которые делится их разность. Итак, когда у нас есть пять типов чисел, соответствующих числам 0, 1, 2, 3, 4 — возможные остатки при делении на 5. Формула записывается так:

мод, когда разница кратна.

При = 2 у нас есть только два числа: 0 и 1. Разделение целых чисел на два таких класса равносильно делению их на четные и нечетные. Заменим сейчас. Разница всегда делится на 1 (любое целое число делится на 1). А можно взять =0? Попробуем: когда разница двух чисел кратна нулю? Только когда эти два числа равны. Так что делить набор целых чисел на ноль имеет смысл, но это неинтересно: ничего не происходит. Однако следует подчеркнуть, что это не деление чисел в известном из начальной школы смысле.

Такие действия просто запрещены, как и длинная и широкая математика.

Рис. 2. Идентификация чисел с помощью сравнения

(мод 5 и мод 2)