Очарование нечетных чисел

У нас есть время отпуска. По этому поводу более легкая тема — про «равные» и «неравные» числа. Все знают четные и нечетные числа. Четное можно разделить на два, нечетное нельзя. То есть можно, но результатом будет не целое число. Если пятнадцать человек согласны играть в футбол, команды не могут быть равными. Они парные, как масло маслом, будь то матч, свадьба или дуэль (на иностранных языках: дуэль). Где спереди, там и сзади, а где слева, там и справа. Верх идет рука об руку с низом, истинным и ложным. Чем был бы Рай без ужаса Ада? Если бы не было плюса, то и минус был бы не нужен, или, вернее, наоборот: без минуса был бы не нужен плюс. Традиционная биполярность, вероятно, поддерживалась всеми философиями. Возможно, это из биологии. Ведь все мы «другой пол».

Железное правило нумерации домов на улицах — с одной стороны должны быть «адреса», а с другой — нечетные. В Варшаве существует правило, что на улицах, параллельных Висле, четные расположены ближе к реке, а на улицах, перпендикулярных Висле, — с северной стороны. Правило имеет множество исключений. Мое приключение в Восточном Берлине стоило мне нервов, наверное, в 1983 году. Моя гостиница была прямо у стены. Нумерация начиналась с одной стороны улицы и шла каждая (не две) до конца. Другая сторона шла от половины чисел до конца. Как я потом узнал, это был старый немецкий обычай.

На Аллее Краковской в ​​Варшаве курсируют трамваи с номерами 7, 9, 15, а на улице Хынка есть автобусная остановка с номерами 141, 189 и 401. Шесть нечетных номеров. Я не нашел, когда последний раз в Тотолотеке были только нечетные номера. Вероятность этого немного выше, чем 1 из 26, что составляет 64 из 49. «Немного выше», потому что нужно вытянуть 25 номеров, из которых «целых» 7 нечетных, что составляет более половины . Такой розыгрыш (шесть нечетных чисел) по статистике должен происходить чуть чаще, чем раз в год. Однако 2019 мая 2 года разыгрывались только четные номера: 6, 8, 16, 36, 48 и XNUMX.

говорили в древности. Сейчас у нас разные вкусы. Нам нравится быть в паре. Ведь я не думаю, что обычай дарить кому-то нечетное количество цветов (известный только в Польше) восходит к римским временам! В английском языке нечетные числа являются «странными». По-русски даже то, что напоминает старопольское «». В первой польской книге по математике Януш Клос использует термин «» (= результат — нечетное число).

Паритет желателен, нечетный паритет проблематичен, хотя из практических соображений предпочтительнее, чтобы нечетное число членов заседало в комитете, чтобы что-то решать. Спортивные команды чаще имеют нечетное, чем четное количество игроков. Теннисисты меняются сторонами, когда общее количество сыгранных игр нечетное, и это должен быть подающий и принимающий на одной, а затем на другой стороне корта.

Наблюдения, расчеты

В течение двадцати лет во время первой лекции для группы из нескольких десятков студентов я раздавал карточки и давал одну команду: пожалуйста, напишите любое натуральное число от 1 до 100. Три секунды времени. Уже. Ага: и, пожалуйста, добавьте свой пол (М, Ж). Всегда, всегда подавляющее большинство студентов выбрал нечетное число (60-80%). Более того — и это интересно — процент людей, выбравших нечетное число, был больше у девочек. На самом деле, я должен опубликовать это как психологическое любопытство.

1. Представление числа 1 в виде дробей с нечетными знаменателями.

На шахматной доске 64 клетки. Половина из них белые, другая половина черные. Играем в шашки на черных клавишах. В этой игре пешки ходят по диагональным рядам. Диагональные ряды обозначу цветами — получится красивый орнамент (2).

3.… превратился в «инструмент» для серии наблюдений.

Я вставлю туда цифры (3). По сторонам от единицы любое число будет суммой трех стоящих над ним в предыдущем ряду (кроме тех, которые при отсутствии третьего являются суммой двух). Это немного похоже на треугольник Паскаля, с правилом, согласно которому каждое число является суммой двух стоящих над ним.) Давайте воспользуемся этим для ряда наблюдений и интересных задач, которые оттуда вытекают.

1 + 1 + 1 = 3

1+2+3+2+1=9=3²

1+3+6+7+6+3+1=27=3³

1+4+10+16+19+16+10+4+1=81=3⁴

1+5+15+30+45+51+45+30+15+5+1=243=3⁵

1+6+21+50+90+126+141+126+90+50+21+6+1=729=3⁶

1+7+28+77+161+266+357+393+357+266+161+77+28+7+1=2187=3⁷

и так далее…

После небольшого изменения имеем:

1–1+1=1

1–2+3–2+1=1

1–3+6–7+6–3+1=1

1–4+10–16+19–16+10–4+1=1

1–5+15–30+45–51+45–30+15–5+1=1

И так далее. Мы всегда получаем 1.

мне нравится обращаться электронная таблица — инструмент, отсутствующий в моей юности и даже в среднем возрасте (Читатель: сколько мне лет?). В электронной таблице он растянут на передний план. принцип работы компьютера: Перенос значений из одной ячейки в другую. Мы видим экран с узором, как страница «тетради для математики» (так что в клеточку, в отличие от тетради для польского — в строчку). Тетрадь… когда-то священный школьный предмет, сегодня к нему относятся с некоторым пренебрежением.

4, 5. Вы прочтете здесь доказательство формулы 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n − 1) = n²?

В электронной таблице мы отправляем значения чисел сами или «автоматически»: основные математические функции и возможности самого листа сжаты в виде различных значков. Просто нажмите …

«Просто щелкни» — заклинание XNUMX века. С удовольствием сидел в саду со своим ноутбуком и игрался с зависимостями между показанными числами. Вот я и «решал» такие проблемы. Слово «решение» должно быть в кавычках. Электронная таблица не обеспечивает доказательства, отвечающего математическим требованиям точности. Математическое доказательство — это вывод тезиса из предположений с использованием правил логики. Без исключений.

Задание 1. Докажите, что сумма слов в горизонтальных рядах равна степени трех, а сумма переменных этих слов равна 1.

Задание 2. Докажите, что если p — простое число, то все числа строки p, кроме среднего числа, делятся на .

Задание 3. Покажите, что если последовательность состоит из последовательных нечетных чисел, т. е. 1, 3, 5, 7, 9, 11 и так далее до 2-1, то ее сумма равна ².

Задание 4. Смотрите рисунки 4 и 5 и из каждого из них читайте «доказательство» формулы 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2−1) =².

6. Прямоугольная спираль Архимеда. Длина линии от середины до концов отдельных сторон равна последовательным квадратам нечетных чисел.

Последнее фото самое красивое (7). Мы видим сетку треугольников, сгруппированных в цепочки из 1, 3, 5, 7, … треугольников. А откуда мы знаем, что все треугольники ²? С… географией. Карта в масштабе 1 уменьшает длины участков в несколько раз, но площади (поля) ²-раз. Другими словами, площади подобных фигур пропорциональны квадрату длин соответствующих сторон, и поэтому большой треугольник имеет ² небольшой. Просто и гениально!

7. Сетка из треугольников, сгруппированных в цепочки

Подойди к хребту

В памяти всплывают четные и нечетные числа… из детства. Я для себя выяснил, что сумма четных чисел четна, и два нечетных числа тоже. Кроме того, умножение четных чисел даст «еще более четное» число. Поэтому я подумал, что произведение нечетных чисел должно быть «еще более нечетным». Я не мог это сформулировать.

Мои проблемы не были поняты учителем, в остальном очень хорошо. Спустя годы я смог оценить это. Когда я был студентом, я понял, что мои арифметические открытия были тем, что в курсе абстрактной алгебры называется Первая теорема о гомоморфизме. Что это? Ах, это так просто. При гомоморфизме колец образ, разделенный ядром, изоморфен образу.

Я не шучу Читателю, что это просто. Это требует только… большой подготовки. Я буду ссылаться на реалии Татр. Поездка по хребту Орла Перч (по крайней мере, от Заврата до Гранатова) не представляет особой сложности. Но сначала нужно попасть «туда». Молодёжи рекомендую — как рекомендую математику, всё-таки царицу наук. Ну, я понимаю, что в современном мире король может править, но не прав. С математикой все наоборот: она правит, но не правит.

Есть дискуссии об обучении, школе, учебе и образовании. Может быть, это перестало бы быть бичом школьников, если бы… главы учебника напоминали эту мою статью? И если она перестанет быть таким пугалом, то… что ее заменит?