Общие черты математики и музыки

МАТЕМАТИКА и МУЗЫКА имеют много общего, не только первая буква и последние три. Тема известная, серьезная. Можно сказать, что «огран». Однако чаще всего математики не понимают музыки, а музыканты не понимают математики.

Я обещал моему другу Казимежу Скуржинскому эссе оНенавязчивое очарование простых чисел«, похожий на их «сдержанный» шарм. Ты подождешь, Казю, еще месяц? Случилось так, что я был в восторге от короткого, простого, но математически сложного вальса в тональности ля минор, написанного знакомой госпожой Йолой. Во-первых, введение (хотя я не знаю, будет ли углубленный анализ математики этого сочинения достаточно интересен для читателей). Кроме того, мне любопытно, в какой степени Автор понимает, что она вникла в алгебру, дискретную математику, теорию групп и криптографию!

Фотографии с музыкальной выставки

Сначала я предлагаю математические и музыкальные картинки, а для музыкально необразованных читателей напоминание о названиях нот (1).

Там еще так много красивой музыки

писать до мажор.

(Войцех Млынарский, в песне, посвященной Ежи Васовскому)

Начну с «печки», то есть нескольких примеров на границе математики и музыки.

1. Фрагмент клавиатуры (не компьютера, а пианино).

2. Четвертой гармоникой точек А, К, В (т.е. тонов С, Соль, До) является точка Т (третья, тональность Е). Сыграйте на пианино, а если не умеете, посмотрите на рисунок клавиатуры (фортепиано, а не компьютера!) и представьте, как это делаете.

Позвольте мне напомнить вам, что октава шаг между шагами, соответствующий делению вибрирующей струны пополам. «Как-то так», что для человеческого уха звук в октаве «тот же самый, только выше», а укоротив струну, например, на треть, мы отчетливо слышим «что-то другое». На фортепиано октава — это пространство между двумя клавишами.

Первый наглядный пример (2) — это «гармоническое расщепление октавы» (отсюда квинта) »И« гармоническое деление квинт (= Tercja)». Всякий музыкант знает, что это так, и согласится с этим, и каждому математику известно деление отрезка в крайнем и среднем отношении и очень изящная конструкция Дезарга четвертой гармоники (я к конструкция типа Маскерони — только с линейкой). Однако мало кто видит, что это одно и то же.

Если не выходить за пределы октавы, фортепианную клавиатуру можно рассматривать как прямую линию, намотанную на окружность (3). В математической терминологии такая обмотка называется Проекция Хопфа — но это не более чем то, чем мы занимаемся каждый день, считая часы с нуля до двенадцати. Если с восьми часов прошло шесть часов, то уже два. Может ли быть 8 + 6 = 2? Да в этой арифметике да!

3. Додекагон октавы звучит в умеренной гамме.

Мы все знаем, что это такое спектр — звуки воспроизводятся последовательно в порядке возрастания (хотя музыканты не обязаны соглашаться с таким упрощением). Мы, наверное, помним, как в «Нравственности пани Дульской» девочек (Гесию и Мелу) истязали игрой гамм…

Отлично. Гама дурова представляет собой последовательность из восьми звуков со следующими расстояниями: 1, 1, ½, 1, 1, 1, ½. Это соответствует семиугольнику интересной формы (4).

В конце «картинок с выставки» потрясающая музыкальная иллюстрация важнейшей теоремы проективной геометрии (т. е. геометрии сходящейся перспективы) — видна в рыс. 7.

Требовать (Дезарг, ок. 1660 г.). Если две четверки точек гармонически сопряжены, то одна из них возникает из другой через центральная проекция!

4. Гамма до мажор и ее тоническое трезвучие. Тонический треугольник имеет углы 45, 75, 60 градусов — значит, они в пифагорейской пропорции 3:5:4. Начало (тоника) гаммы — это нота на вершине 45 градусов. Началом шкалы может быть любая вершина двенадцатиугольника. Итак, у нас есть двенадцать мажорных гамм.

Танец водоворота с размерами ¾ — Вальс мисс Джоли

Переходим к вальсу. Так как математик, начну с определения. Это вихревой танец с тактовым размером ¾. (три крючка на такт), заимствованные из немецких народных танцев. Только в 1786 году вальс был впервые сыгран на большой оперной сцене в Вене, и с тех пор он быстро завоевал положение очень торжественного танца, не теряя своей популярности.

Кто-нибудь знает Жак Брела «Вальс на тысячу полос»? Рекомендую найти на YouTube.

Красивый вальс Зигмунта Конечного на слова Джулиан Тувим («Польские цветы») в трогательном спектакле Ева Демарчик?

Теперь давайте посмотрим на самое начало упомянутого здесь цилиндра (8). Слова являются моим изобретением для целей этой статьи.

Во-первых, давайте проверим, совпадают ли дроби. Мелодия состоит из трех четвертей, поэтому в такте три четвертных ноты. Считаем: не согласен. Уже в первой маме

Как мы помним из начальной школы

Положение спасает, однако, незаметная в начале примета: восьмой отдых. Паузы идут в счет мелодии, это совершенно очевидно.

5. Гамма до мажор (CDEFGAHC). Вершина находится в точке C с аргументом 0 (это угол 0, который является комплексным числом 1). Красный треугольник — тоника (КЭГ), синий — доминанта (ГД), зеленый — субдоминанта (КД). Вычисление координат этих точек представляет собой упражнение с комплексными числами. Примечание для студентов, которых я буду преподавать этой осенью: вы найдете это на первом коллоквиуме!

На математическом факультете звонили дискретная математика важные перестановка. Это просто перестановки: нет — плечо, вал — уголь — коралл — замок — крало — дубрл. Последние три слова ничего не значат, но речь идет не о перестановках. Математик предпочитает переставлять числа. Может быть, кто-то из школьников помнит, что перестановка семи чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 равна 5040 (т. н. платоническое число)?

Точно. Уже в первых двух тактах мы имеем перестановку октавных нот. Композитор изменил порядок, но ничего не добавил, ничего не убрал. Давайте переведем это в цифры, чтобы было проще (что такое математика) — рыс. 10.

Можно сказать, что композитор нарушил естественный порядок нисхождения звуков, переместив их с четвертой на октаву выше. Для музыканта это пустяк, но математически это довольно сложно. В закаленная шкала (для математика: дискретная, в отличие от неумеренной, т.е. непрерывной) убывающая последовательность — это геометрическая последовательность с частным

(обратное значение корня из двенадцатой степени из двух), а переход на октаву выше — это умножение на 2. Здесь я имею в виду частоту, то есть количество колебаний в секунду (т. е. герц).

6. Тонические треугольники параллельных гамм (до мажор и ля минор) симметрично расположены в равностороннем треугольнике.

Представим эту перестановку по-другому. Меняем 1 с 3, 4 с 7 и 5 и 6 (11). Это порядок звуков вступительной фразы нашего вальса. Конечно, длина звуков также важна, но об этом позже.

Что это за геометрическое преобразование (11)? Конечно: симметрия относительно отмеченной красной диагональной линии! Я верю в Пифагор: эта фраза так красива в музыкальном плане, потому что она происходит от одного из самых простых и важных математических преобразований: осевой симметрии. Просто красиво. Красота проста.

Кейс подходит для экзамена по математике в колледже. Каковы свойства перестановки s = (3217654)? Я мог бы дать такое задание:

1. Разбейте его на циклы. Ответ: есть четыре
2. Рассчитайте 2019 мощность перестановки.
3. Определите, где среди всех перестановок находится s. Сделайте это для лексикографического (ответ: 1584) и индуктивного (ответ: 144) порядка.

7. Музыкальная интерпретация важнейшей теоремы проективной геометрии. Синие точки — третья и пятая, красные точки — тон и третья. Обе системы гармонично связаны. Эта теорема говорит, что тогда одна система возникает из другой посредством центральной проекции!

Прошу вас. У меня есть задания для студентов (но только на весенний семестр). Однако, в связи с тем, что «Юный техник» находится не только в моем распоряжении, не буду вдаваться в подробности. Студенты: бывает ли, что преподаватель дает задания перед контрольной?

В следующих двух тактах мы видим последовательность нот, сдвинутую на 1 вправо. Это похоже на то, что известно в теории кодирования «Шифр Цезаря«. Чтобы сохранить информацию в тайне, сдвигаем все буквы на одну или несколько вправо (берём вместо, пишем вместо и т.д.). Фраза BACA PASIE SHEEP станет тогда последовательностью CBDB RBTJF PXDF — если не учитывать польские диакритические знаки, то есть наши ą, ć, ę, ł, ń, ó, ś, ż, ź. Это очень простой шифр, хотя он может быть настолько сложным, что даже сегодня его можно использовать для шифрования дипломатических телеграмм.

Вот пример. Словом «особенность» мы хотим закодировать наш «Вальс про маленького котенка». Создаем, например, из картона устройство, состоящее из внутреннего зеленого круга и желтого кольца с нанесенными на нем буквами.

8. Вальс с котенком — и математическая ловкость.

Все это дело разрезается по окружности внутреннего круга. Поэтому внешнее кольцо может стать зеленым. Удобнее сделать полный желтый круг и расположить его на одной оси с зеленым. Установите устройство в исходное положение. При первом соединении буква С сочетается с Е. Проворачиваем кольцо на одну седьмую оборота. Вторая буква слова «feature», E, теперь сливается с D. После следующего поворота у нас есть соединение CD. И в этом хитрость метода. Здесь нет жесткого расположения букв, как в детских кодах скаутов. Вариацию можно описать… только с первых тактов песни.

9. Еще раз звуки диатонического ряда. На этом рисунке не показана разница в промежутках между тонами, например, ef — это полутон.

Это также кажется довольно простым. И это просто. Но именно так работала знаменитая немецкая шифровальная машина Enigma. Конечно, букв в нем было не 7, а столько же, сколько в алфавите, и связи были не такими простыми. Однако принцип был тот же. Вам просто нужно было выбрать перестановку.

Рис. 10. Алгебраическое и графическое представление перестановок.

Что это значит? Как так? Какой-то композитор запутался в ремарках к фуге, а нам еще нужно написать торжественную концовку. Да-да, а это имеет какое-то отношение к статье? Не увидеть? В этом предложении (Юлиана Тувима) есть все буквы польского языка, каждая после времени. Перестановка! Еще один пример связи между математикой и музыкой. а музыка успокаивает манеры.

Как, возможно, поняли читатели, я не пошел дальше анализа первых четырех тактов вальса. Об остальных — может быть, в другой раз.

11. Поменяйте местами звуки, соединенные синими линиями.

В лиге тоже пригодится.

Я уже почти закончил писать, но что-то все еще было в моей голове. Я вспомнил, что где-то уже видел рисунок, похожий на те, что отмечены как 11 i 12. Конечно! Я вспомнил: я сам писал об этом в книге десятилетней давности. Речь идет о… создании футбольных команд для участия в играх лиги. Та же схема.

Представь это в лиге всего семь команд из следующих городов: Хшанув, Дравско, Элк, Фромборк, Гливице, Александров и Хайнувка. Смотрим на первый элемент на рис.12. У Дравско свободное свидание, Элк играет с Хшанувом, Фромборк с Хайнувкой, а Александров с Гливице. Вращаем внешнее кольцо как при шифровании. Александров отдыхает, Гливице идет к Хайнувке, Фромборк натыкается на Хшанова, Элка и Дравско и т. д. Теория перестановок гарантирует, что система работает.

12. Слово «черта» = ЭДДЧ, закодированное по «Вальсу про маленького котенка». Так что, может быть, лучше начать песню примерно так: «Жил-был хитрый шпион…».

Как и все мальчишки, я играл в футбол. Я был вратарем в дворовой команде. Однако в настоящее время эта игра, вероятно, является чем-то другим, чем раньше. Не знаю до конца, но ролики по телеку это показывают четко. Смысл в том, чтобы… попасть в штангу, потому что тогда есть возможность… пива попить.

Композитор, чей вальс был предметом моей статьи, может сожалеть, что ее произведение может быть использовано Збигневом Бонеком и его сотрудниками. Или, может быть, как раз наоборот: красиво?

Музыка сопровождает нас от начала и до конца жизни.

Смотрите также: