Обратное очарование

О «прелести противоположностей» много говорят, и не только в математике. Помните, что противоположные числа — это те, которые отличаются только знаком: плюс 7 и минус 7. Сумма противоположных чисел равна нулю. Но для нас (т.е. математиков) более интересны обратные числа. Если произведение чисел равно 1, то эти числа обратны друг другу. Каждое число имеет свою противоположность, каждое ненулевое число имеет свою обратную. Обратное к обратному является начальным числом.

Инверсия возникает везде, где две величины связаны друг с другом так, что если одна увеличивается, другая уменьшается с соответствующей скоростью. «Соответствующее» означает, что произведение этих количеств не меняется. Мы помним со школы: это обратная пропорциональность. Если я хочу добраться до пункта назначения в два раза быстрее (то есть сократить время вдвое), мне нужно удвоить скорость. Если уменьшить объем запаянного сосуда с газом в n раз, то его давление увеличится в n раз.

В начальном образовании мы тщательно различаем дифференциальное и относительное сравнения. “На сколько больше”? – “Во сколько раз больше?”

Вот некоторые школьные мероприятия:

Задание 1. Из двух положительных величин первая в 5 раз больше второй и в то же время в 5 раз больше первой. Каковы размеры?

Задание 2. Если одно число больше второго на 3, а второе больше третьего на 2, то насколько первое число больше третьего? Если первое положительное число в два раза больше второго, а первое число в три раза больше третьего, то во сколько раз первое число больше третьего?

Задание 3. В задании 2 допустимы только натуральные числа. Возможно ли такое расположение, как описано там?

Задание 4. Из двух положительных величин первая в 5 раз больше второй, а вторая в 5 раз больше первой. Является ли это возможным?

Понятие «средний» или «средний» кажется очень простым. Если я проехал на велосипеде 55 км в понедельник, 45 км во вторник и 80 км в среду, в среднем я проезжал на велосипеде 60 км в день. Мы безоговорочно согласны с этими расчетами, хотя они немного странные, потому что я не проезжал 60 км ни за один день. Мы так же легко принимаем доли человека: если в течение шести дней ресторан посещают двести человек, то среднесуточная норма составляет 33 с третью человека. Хм!

Есть проблемы только со средним размером. Мне нравится велотуризм. Вот я и воспользовался предложением турфирмы «Поехали с нами» – они доставляют багаж до гостиницы, куда клиент едет на велосипеде в рекреационных целях. В пятницу я проехал четыре часа: первые два со скоростью 24 км в час. Потом я так устал, что за следующие два со скоростью всего 16 в час. Какая у меня была средняя скорость? Конечно (24+16)/2=20км=20км/ч.

В субботу, однако, багаж оставили в гостинице, и я поехал смотреть руины замка, что в 24 км, и, увидев их, вернулся. Ехал час в одну сторону, обратно возвращался медленнее, со скоростью 16 км в час. Какова была моя средняя скорость на маршруте «отель-замок-отель»? 20 км в час? Конечно, нет. Ведь я проехал в общей сложности 48 км и на это у меня ушло час («туда») и полтора часа обратно. 48 км за два с половиной часа, т.е. час 48/2,5=192/10=19,2 км! В этой ситуации средняя скорость есть не среднее арифметическое, а гармоника заданных величин:

и эту двухэтажную формулу можно прочитать так: среднее гармоническое положительных чисел есть величина, обратная среднему арифметическому их обратной величины. Обратное от суммы обратных фигурирует во многих хорах школьных заданий: если один рабочий копает часов, другой — b часов, то, работая вместе, они копают вовремя. бассейн с водой (один в час, другой в б часов). Если у одного резистора R1, а у другого R2, то они имеют параллельное сопротивление. 

Если один компьютер может решить задачу за секунды, другой компьютер за b секунд, то при их совместной работе…

Останавливаться! На этом аналогия заканчивается, потому что все зависит от скорости сети: эффективности соединений. Рабочие также могут мешать или помогать друг другу. Если один человек может вырыть колодец за восемь часов, смогут ли восемьдесят рабочих сделать это за 1/10 часа (или за 6 минут)? Если шесть носильщиков за 6 минут доставят пианино на первый этаж, сколько времени понадобится одному из них, чтобы доставить пианино на шестидесятый этаж? Абсурдность таких задач заставляет вспомнить об ограниченной применимости всей математики к задачам «из жизни».

О весомом продавце 

Весы больше не используются. Напомним, что на одну чашу таких весов клали гирю, на другую – взвешиваемый товар, и когда гиря находилась в равновесии, то и товар весил столько же, сколько и гиря. Разумеется, оба плеча весового груза должны быть одинаковой длины, иначе взвешивание будет неверным.

О верно. Представьте продавца, который имеет вес с неравными плечами. Однако он хочет быть честным с покупателями и взвешивает товар двумя партиями. Сначала он кладет на одну сковороду вес, а на другую соответствующее количество товара — так, чтобы весы были в равновесии. Затем он взвешивает вторую «половину» товара в обратном порядке, то есть кладет вес на вторую чашу, а товар — на первую. Поскольку руки неравны, «половинки» никогда не бывают равными. И у продавца совесть чиста, и покупатели хвалят его честность: «что тут убрал, то потом добавил».

Однако давайте внимательнее посмотрим на поведение продавца, который хочет быть честным, несмотря на ненадежный вес. Пусть плечи весов имеют длины а и Ь. Если одна из чаш нагружена килограммовым весом, а другая – х товаров, то весы находятся в равновесии, если ах = Ь в первый раз и Ьх = а во второй раз. Итак, первая часть товара равна б/а килограмма, вторая часть – а/б. Хороший вес имеет a = b, значит покупатель получит 2 кг товара. Посмотрим, что произойдет при a ≠ b. Тогда a – b ≠ 0 и из сокращенной формулы умножения имеем

Мы пришли к неожиданному результату: вроде бы справедливый метод «усреднения» измерения в данном случае работает на пользу покупателю, который получает больше товара.

Задание 5. (Важно, отнюдь не по математике!). Комар весит 2,5 миллиграмма, а слон пять тонн (это вполне верные данные). Рассчитайте среднее арифметическое, геометрическое и гармоническое массы (веса) комара и слона. Проверьте расчеты и посмотрите, имеют ли они какой-либо смысл помимо арифметических упражнений. Рассмотрим другие примеры математических вычислений, которые не имеют смысла в «реальной жизни». Совет: мы уже рассмотрели один пример в этой статье. Значит ли это, что анонимный студент, чье мнение я нашел в Интернете, был прав: «Математика дурит людей числами»?

Да, согласен, что в величии математики можно “дурить” людей – в каждой второй рекламе шампуня написано, что он увеличивает пушистость на какой-то процент. Будем ли мы искать другие примеры полезных повседневных инструментов, которые можно использовать для преступной деятельности?

Граммы!

Название этого отрывка является глаголом (первое лицо множественного числа), а не существительным (именительный падеж множественного числа от одной тысячной килограмма). Гармония предполагает порядок и музыку. Для древних греков музыка была отраслью науки — надо признать, если мы так говорим, мы переносим нынешнее значение слова «наука» на время до нашей эры. Пифагор жил в XNUMX веке до н.э.. Он не только не знал компьютера, мобильного телефона и электронной почты, но и не знал, кто такие Роберт Левандовский, Мешко I, Карл Великий и Цицерон. Он не знал ни арабских, ни даже римских цифр (они вошли в обиход примерно в V веке до нашей эры), он не знал, что такое Пунические войны… Но он знал музыку…

Он знал, что на струнных инструментах коэффициенты колебаний обратно пропорциональны длине вибрирующих частей струн. Он знал, он знал, он просто не мог выразить это так, как мы это делаем сегодня.

Частоты двух колебаний струны, составляющих октаву, находятся в соотношении 1:2, то есть частота более высокой ноты в два раза выше частоты более низкой. Правильное соотношение вибрации для квинты 2:3, кварты 3:4, чистой мажорной терции 4:5, минорной терции 5:6. Это приятные консонансные интервалы. Затем идут два нейтральных, с соотношениями колебаний 6:7 и 7:8, затем диссонирующие – большой тон (8:9), малый тон (9:10). Эти дроби (отношения) подобны отношениям последовательных членов последовательности, которую математики (именно по этой причине) называют гармоническим рядом:

– теоретически бесконечная сумма. Соотношение колебаний октавы можно записать как 2:4 и поставить между ними квинту: 2:3:4, то есть мы разобьем октаву на квинту и кварту. Это в математике называется гармоническим сегментным делением:

Рис. 1. Для музыканта: деление октавы АВ на квинту АС.Для математика: гармоническая сегментация

Что я имею в виду, когда говорю (выше) о теоретически бесконечной сумме, например о гармоническом ряду? Оказывается, такой суммой может быть любое большое число, главное, чтобы мы достаточно долго складывали. Ингредиентов становится все меньше, но их становится все больше. Что преобладает? Здесь мы вступаем в область математического анализа. Получается, что ингредиенты истощаются, но не очень быстро. Я покажу, что, взяв достаточно ингредиентов, я могу составить сумму:

произвольно большой. Возьмем «для примера» n = 1024. Давайте сгруппируем слова, как показано на рисунке:

В каждой скобке каждое слово больше предыдущего, кроме, конечно, последнего, которое равно самому себе. В следующих скобках у нас есть 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и 512 компонентов; значение суммы в каждой скобке больше ½. Все это больше, чем 5½. Более точные расчеты показали бы, что эта сумма составляет примерно 7,50918. Не сильно, но всегда, и вы можете видеть, что, взяв n любым большим, я могу превзойти любое число. Этот невероятно медленный (например, мы превышаем десятку только с ингредиентами), но бесконечный рост всегда очаровывал математиков.

Путешествие в бесконечность с гармоническим рядом

Вот загадка к довольно серьезной математике. У нас есть неограниченный запас прямоугольных блоков (да что я говорю, прямоугольных!) с размерами, скажем, 4 × 2 × 1. Рассмотрим систему, состоящую из нескольких (на рыс. 2 – четыре) блока, расположенных так, что первый наклонен на ½ своей длины, второй сверху на ¼ и так далее, третий на одну шестую. Ну, может быть, чтобы сделать его действительно устойчивым, давайте первый кирпич чуть меньше наклоняем. Для расчетов это не имеет значения.

Рис. 2. Определение центра тяжести

Также легко понять, что поскольку фигура, составленная из первых двух блоков (считая сверху), имеет центр симметрии в точке В, то В является центром тяжести. Определим геометрически центр тяжести системы, составленной из трех верхних блоков. Здесь достаточно очень простого рассуждения. Разделим мысленно трехблочную композицию на две верхние и третью нижнюю. Этот центр должен лежать на сечении, соединяющем центры тяжести двух частей. В какой момент этого эпизода?

Есть два способа обозначения. В первом воспользуемся тем наблюдением, что этот центр должен лежать в середине трехблочной пирамиды, т. е. на прямой, пересекающей второй, средний блок. Во втором способе мы понимаем, что, поскольку два верхних блока имеют общую массу в два раза больше, чем одиночный блок № 3 (сверху), центр тяжести на этом сечении должен быть в два раза ближе к B, чем к центр S третьего блока. Аналогично находим следующую точку: соединяем найденный центр трех блоков с центром S четвертого блока. Центр всей системы находится на высоте 2 и в точке, которая делит отрезок на 1 к 3 (т. е. на ¾ его длины).

Вычисления, которые мы проведем чуть дальше, приводят к результату, показанному на рис. rys. 3. Последовательные центры тяжести удалены от правого края нижнего блока на:

Таким образом, проекция центра тяжести пирамиды всегда находится в пределах основания. Башня не опрокинется. Теперь давайте посмотрим на рыс. 3 и на мгновение давайте используем пятый блок сверху в качестве основы (тот, что отмечен более ярким цветом). Верхний наклонен:

таким образом, его левый край на 1 дальше правого края основания. Вот следующий взмах:

Какое самое большое колебание? Мы уже знаем! Нет величайшего! Взяв даже самые маленькие блоки, можно получить свес в один километр — к сожалению, только математически: всей Земли не хватило бы, чтобы построить столько блоков!

Рис. 3. Добавляем еще блоки

Теперь расчеты, которые мы оставили выше. Мы будем рассчитывать все расстояния «по горизонтали» по оси абсцисс, потому что это все, о чем идет речь. Точка А (центр тяжести первого блока) находится на 1/2 от правого края. Точка B (центр двухблочной системы) находится на расстоянии 1/4 от правого края второго блока. Пусть точкой отсчета будет конец второго блока (сейчас мы перейдем к третьему). Например, где находится центр тяжести одинарного блока № 3? Половина длины этого блока, следовательно, он удален от нашей точки отсчета на 1/2 + 1/4 = 3/4. Где находится точка С? В двух третях отрезка между 3/4 и 1/4, т. е. в точке до, меняем точку отсчета на правый край третьего блока. Центр тяжести трехблочной системы теперь удален от новой точки отсчета и так далее. Центр тяжести С_n башни, составленной из n блоков, удалена на 1/2n от мгновенной точки отсчета, которая является правым краем базового блока, т. е. n-го блока сверху.

Поскольку ряд обратных величин расходится, мы можем получить любую большую вариацию. Могло ли это быть реализовано на самом деле? Это как бесконечная кирпичная башня — рано или поздно она рухнет под собственным весом. В нашей схеме минимальные неточности в размещении блоков (и медленное увеличение частичных сумм ряда) означают, что мы не продвинемся далеко.