Новая математика машин? Элегантные узоры и беспомощность
По мнению некоторых экспертов, машины могут изобретать или, если хотите, открывать совершенно новую математику, которую мы, люди, никогда не видели и не придумали бы. Другие утверждают, что машины ничего не изобретают сами по себе, они могут лишь по-другому представлять известные нам формулы, а с некоторыми математическими задачами они вообще не справляются.
Недавно группа ученых из Института Технион в Израиле и Google представила автоматизированная система создания теоремкоторую они назвали машиной Рамануджана в честь математика Шриниваси Рамануджанакоторые разработали тысячи новаторских формул в теории чисел практически без формального образования. Система, разработанная исследователями, превратила ряд оригинальных и важных формул в универсальные константы, которые появляются в математике. Работа на эту тему была опубликована в журнале Nature.
Одну из формул, выработанных машиной, можно использовать для вычисления значения универсальной константы, называемой Каталонский номер, более эффективно, чем использование ранее известных формул, открытых человеком. Однако ученые утверждают, что машина Рамануджана он не предназначен для того, чтобы отобрать математику у людей, а скорее для того, чтобы предложить помощь математикам. Однако это не означает, что их система лишена амбициозности. Как они пишут, Машина «пытается подражать математической интуиции великих математиков и давать подсказки для дальнейших математических поисков».
Система делает предположения о значениях универсальных констант (таких как), записанных в виде элегантных формул, называемых непрерывными дробями или непрерывными дробями (1). Так называется способ выражения действительного числа в виде дроби в специальной форме или предел таких дробей. Непрерывная дробь может быть конечной или иметь бесконечно много частныхi/bi; фракция Аk/Bk полученное отбрасыванием в непрерывной дроби неполных частных, начиная с (k + 1)-го, называется k-м редуктом и может быть вычислено по формулам:-1=1,А0=b0, В-1=0,В0=1, Аk=bkAк-1+akAк-2, Вk=bkBк-1+akBк-2; если последовательность редуктов сходится к конечному пределу, то непрерывная дробь называется сходящейся, в противном случае — расходящейся; непрерывная дробь называется арифметической, еслиi=1, б0 завершено, бi (i>0) — натуральный; непрерывная арифметическая дробь сходится; каждое действительное число расширяется до непрерывной арифметической дроби, которая конечна только для рациональных чисел.
1. Пример записи Пи в виде непрерывной дроби
Алгоритм машины Рамануджана выбирает любые универсальные константы для левой части и любые непрерывные дроби для правой части, а затем вычисляет каждую часть отдельно с некоторой точностью. Если обе стороны кажутся перекрывающимися, количества рассчитываются с большей точностью, чтобы гарантировать, что совпадение не является совпадением или неточностью. Что немаловажно, уже существуют формулы, позволяющие вычислить значение универсальных констант, например, с любой точностью, поэтому единственным препятствием в проверке соответствия страниц является время вычислений.
Прежде чем внедрять подобные алгоритмы, математикам приходилось использовать уже существующий. математические знания i теоремысделать такое предположение. Благодаря автоматическим предположениям, генерируемым алгоритмами, математики могут использовать их для воссоздания скрытых теорем или более «элегантных» результатов.
Самым заметным открытием исследователей является не столько новое знание, сколько новое предположение удивительной важности. Это позволяет расчет каталонской постоянной, универсальная константа, значение которой необходимо во многих математических задачах. Выражение его в виде непрерывной дроби в недавно открытом предположении позволяет выполнять самые быстрые вычисления на сегодняшний день, побеждая более ранние формулы, которые требовали больше времени для компьютерной обработки. Это, кажется, знаменует новую точку прогресса для компьютерных наук, по сравнению с тем временем, когда компьютеры впервые обыграли шахматистов.
С чем не может справиться ИИ
Алгоритмы машины Как видите, с некоторыми вещами они справляются инновационным и эффективным способом. Столкнувшись с другими проблемами, они беспомощны. Группа исследователей из Университета Ватерлоо в Канаде обнаружила класс задач, используя машинное обучение. Открытие связано с парадоксом, описанным в середине прошлого века австрийским математиком Куртом Гёделем.
Математик Шай Бен-Дэвид и его команда представили модель машинного обучения, называемую максимальным предсказанием (EMX), в публикации в журнале Nature. Казалось бы, простая задача оказалась невыполнимой для искусственного интеллекта. Проблема, поставленная командой Шай Бен-Давид сводится к прогнозированию наиболее выгодной рекламной кампании, ориентированной на наиболее часто посещающих сайт читателей. Количество возможностей настолько велико, что нейронная сеть не в состоянии найти функцию, которая будет правильно предсказывать поведение пользователей сайта, имея в своем распоряжении лишь небольшую выборку данных.
Оказалось, что некоторые проблемы, поставленные нейронными сетями, эквивалентны континуум-гипотезе, поставленной Георгом Кантором. Немецкий математик доказал, что мощность множества натуральных чисел меньше мощности множества действительных чисел. Затем он задал вопрос, на который не смог ответить. А именно, он задавался вопросом, существует ли бесконечное множество, мощность которого меньше, чем мощность набор действительных чиселно больше силы набор натуральных чисел.
Австрийский математик XNUMX века. Курт Гёдель доказал, что гипотеза континуума неразрешима в текущей математической системе. Теперь выясняется, что с похожей проблемой столкнулись математики, проектирующие нейронные сети.
Так что, хоть и незаметная для нас, как мы видим, она беспомощна перед принципиальными ограничениями. Ученые задаются вопросом, если с проблемами этого класса, такими как бесконечные множества, например.
