На новый учебный год

Большинство читателей были где-то на отдыхе – будь то в нашей прекрасной стране, в странах ближнего зарубежья, а может быть, даже за океаном. Давайте воспользуемся этим, пока границы для нас открыты… Какой был самый частый знак в наших коротких и дальних путешествиях? Это стрелка, указывающая в сторону съезда с автомагистрали, продолжения горной тропы, входа в музей, входа на пляж и так далее и тому подобное. Что во всем этом интересного? Математически не очень. Но давайте подумаем: этот знак очевиден для всех… представителей цивилизации, в которой когда-то стреляли из лука. Правда, доказать это невозможно. Мы не знаем никакой другой цивилизации. Однако математически более интересен правильный пятиугольник и его звездчатый вариант — пентаграмма.

Нам не нужно иметь никакого образования, чтобы найти эти цифры интригующими и интересными. Если, Читатель, ты пил пятизвездочный коньяк в пятизвездочном отеле на Площади Звезд в Париже, то, может быть… ты родился под счастливой звездой. Когда кто-то попросит нас нарисовать звезду, мы не задумываясь нарисуем пятиконечную, а когда собеседник удивится: «Это символ бывшего СССР!», мы можем ответить: Конюшни!».

Пентаграмма, или пятиконечная звезда, правильный пятиугольник, освоена всем человечеством. Не менее четверти стран, включая США и бывший СССР, включили его в свои эмблемы. В детстве мы учились рисовать пятиконечную звездочку, не отрывая карандаша от страницы. В зрелом возрасте она становится нашей путеводной звездой, неизменной, далекой, символом надежды и судьбы, оракулом. Давайте посмотрим на это со стороны.

О чем нам говорят звезды?

Историки сходятся во мнении: до VII века до нашей эры интеллектуальное наследие народов Европы оставалось в тени культур Вавилона, Египта и Финикии. И вдруг шестой век приносит возрождение и такое бурное развитие культуры и науки, что некоторые журналисты (например, Дэникен) утверждают — трудно сказать, верят ли они сами в это, — что это было бы невозможно без вмешательства узников. из Космоса.

Когда дело доходит до Греции, случай имеет рациональное объяснение: в результате миграции народов жители Пелопоннесского полуострова больше узнают о культуре соседних стран (например, финикийские буквы проникают в Грецию и совершенствуют алфавит), а сами начинают колонизировать Средиземноморский бассейн. Это всегда очень благоприятные условия для развития науки: независимость в сочетании с контактами с миром. Без независимости мы обрекаем себя на судьбу банановых республик Центральной Америки, без контактов – на Северную Корею.

Числа имеют значение

VI век до нашей эры был особым веком в истории человечества. Не зная или, возможно, не слыша друг о друге, трое великих мыслителей учили: Будда, Конфуций i питагора. Первые две создали религии и философские системы, живущие до сих пор. Ограничена ли роль третьего из них открытием того или иного свойства конкретного треугольника?

На рубеже VII и VI веков (ок. 624 – ок. 546 до н. э.) в Милете в современной Малой Азии жил Такие. В одних источниках говорится, что он был ученым, в других — что он был богатым купцом, а третьи называют его предпринимателем (очевидно, в один год он купил все маслобойные прессы, а потом одолжил их за ростовщическую плату). Некоторые, согласно нынешней моде и образцу занятия наукой, видят в нем, в свою очередь, покровителя: видимо, он пригласил мудрецов, накормил их и угостил, а потом сказал: «ну, работайте во славу меня и всех Наука”. Однако многие серьезные источники склоняются к утверждению, что Фалеса, плоти и крови, вообще не существовало, а его имя лишь служило олицетворением конкретных идей. Как было, так было и мы, наверное, уже никогда не узнаем. Историк математики Э. Д. Смит писал, что если бы не было Фалеса, не было бы и Пифагора, и никого подобного Пифагору, а без Пифагора не было бы ни Платона, ни такого, как Платон. Скорее всего. Оставим, однако, в стороне, что было бы, если бы.

Пифагор (ок. 572 — ок. 497 до н. э.) преподавал в Кротоне на юге Италии, и именно там зародилось интеллектуальное движение, названное в честь мастера: питагореизм. Это было этико-религиозное движение и объединение, основанное, как мы бы назвали это сегодня, на тайнах и тайных учениях, рассматривавшее изучение науки как одно из средств очищения души. В течение жизни одного-двух поколений пифагореизм прошел обычные стадии развития идей: первоначальный рост и расширение, кризис и упадок. По-настоящему великие идеи не заканчивают свою жизнь на этом и никогда не умирают навсегда. Интеллектуальное учение Пифагора (он сам изобрел термин, который сам себя называл: философ, или друг мудрости) и его учеников доминировало во всей древности, затем вернулось в Возрождение (под именем пантеизма), и мы на самом деле находимся под его влиянием. сегодня. Принципы пифагорейства настолько укоренились в культуре (по крайней мере, европейской), что мы с трудом осознаем, что могли бы думать иначе. Мы удивлены не меньше мольеровского господина Журдена, который удивился, узнав, что всю жизнь говорил прозой.

Основной идеей пифагорейства было убеждение, что мир устроен по строгому плану и гармонии, и что призвание человека состоит в том, чтобы познать эту гармонию. И именно размышление о гармонии мира составляет учение пифагореизма. Пифагорейцы, безусловно, были и мистиками, и математиками, хотя только сегодня их легко так небрежно классифицировать. Они проложили путь. Они начали свои исследования гармонии мира, сначала изучая музыку, астрономию, арифметику и.

Хотя человечество поддалось магии «навсегда», только пифагорейская школа возвела ее до общеприменимого закона. «Числа правят миром» – этот лозунг был лучшей характеристикой школы. У чисел была душа. Каждый что-то значил, каждый что-то символизировал, каждый отражал частицу этой гармонии Мироздания, т. космос. Само слово означает «порядок, порядок» (читатели знают, что косметика разглаживает лицо и улучшает красоту).

Разные источники дают разные значения, которые пифагорейцы придавали каждому числу. Так или иначе, одно и то же число могло символизировать несколько понятий. Наиболее важными были шесть (совершенное число) я десять – сумма последовательных чисел 1+2+3+4, составленных из других чисел, символика которых сохранилась до наших дней.

Итак, Пифагор учил, что числа — это начало и источник всего, что — если выдумать — они «смешиваются» друг с другом, и мы видим только результаты того, что они делают. Созданная, а точнее развитая Пифагором, мистика чисел не имеет сегодня «хорошей печати» и даже серьезные авторы видят здесь смесь «пафоса и абсурда» или «науки, мистики и чистой натяжки». Трудно понять, как известный историк Александр Кравчук мог написать, что Пифагор и его ученики наполняли философию видениями, мифами, суевериями – как будто он ничего не понимал. Потому что это выглядит так только с точки зрения нашего XNUMX века. Пифагорейцы ничего не напрягали, они создавали свои теории совершенно добросовестно. Может быть, через несколько столетий кто-то напишет, что вся теория относительности тоже была абсурдной, пафосной и натянутой. А числовая символика, отделявшая нас от Пифагора на четверть миллиона лет, глубоко проникла в культуру и стала ее частью, как и греческие и германские мифы, средневековые рыцарские былины, русские народные сказки о Косце или видение Юлиуша Словацкого Славянский Папа.

Загадочная иррациональность

В геометрии пифагорейцы были поражены figurami podobnymi. И именно при анализе теоремы Фалеса, основного закона о правилах подобия, произошла катастрофа. Были обнаружены несоизмеримые сечения, а значит, и иррациональные числа. Эпизоды, которые невозможно измерить какой-либо общей мерой. Числа, не являющиеся пропорциями. И это было обнаружено в одной из самых простых форм: квадрате.

Сегодня в школьной науке мы обходим этот факт, почти не замечая его. Диагональ квадрата равна √2? Отлично, сколько это может быть равно? Нажимаем на калькуляторе две кнопки: 1,4142… Хорошо, мы уже знаем, что такое квадратный корень из двух. Какой? Это иррационально? Наверное, это потому, что мы используем такой странный знак, но ведь на самом деле это 1,4142. Ведь калькулятор не врет.

Если читатель думает, что я преувеличиваю, то… очень хорошо. Судя по всему, в польских школах не так плохо, как, например, в британских, где все дело неизмеримость где-то между сказками.

В польском языке слово «иррациональный» не так страшно, как его аналог в других европейских языках. Рациональные числа там рациональные, rationnel, razional, т.

Рассмотрим рассуждения о том, что √2 это иррациональное число, то есть это не любая дробь от p/q, где p и q — целые числа. Говоря современным языком, это выглядит так… Предположим, что √2 = p/q и что эту дробь уже нельзя укоротить. В частности, и p, и q нечетны. Возведем в квадрат: 2q²=p². Число p не может быть нечетным, так как тогда p² тоже было бы, а в левой части равенства стоит кратное 2. Значит, p четно, т. е. p = 2r, значит, p²=4r². Сократим уравнение 2q²=4r². мы получаем д²=2r² и мы видим, что q также должно быть четным, а мы предположили, что это не так. Получено противоречие доказательство заканчивается – вы можете найти эту формулу то и дело в каждой математической книге. Это косвенное доказательство — излюбленный прием софистов.

Подчеркну, однако, что это современное рассуждение — такого развитого алгебраического аппарата у пифагорейцев не было. Они искали общую меру стороны квадрата и его диагонали, что навело их на мысль, что такой общей меры быть не может. Предположение о его существовании приводит к противоречию. Твердая земля ускользала из-под ног. Все должно уметь описываться числами, а диагональ квадрата, которую любой может провести палочкой по песку, не имеет длины (то есть измерима, потому что других чисел нет). «Наша вера была тщетной», — как бы говорят пифагорейцы. Что делать?

Предпринимались попытки спастись сектантскими методами. Всякий, кто посмеет обнаружить существование иррациональных чисел, будет предан смерти, и, по-видимому, сам мастер — вопреки заповеди кротости — приводит в исполнение первый приговор. Тогда все становится занавесом. По одной версии пифагорейцы убиты (несколько спасены и благодаря им вся идея не снесена в могилу), по другой – сами ученики, столь послушные, изгоняют обожаемого мастера и он где-то заканчивает свою жизнь в изгнании. Секта прекращает свое существование.

Все мы знаем высказывание Уинстона Черчилля: «Никогда в истории человеческих конфликтов так много людей не были так многим обязаны столь немногим». Речь шла о летчиках, защищавших Англию от немецкой авиации в 1940 году. Если заменить “человеческие конфликты” на “человеческие мысли”, то поговорка применима к горстке пифагорейцев, спасшихся (так мало) от погрома в конце XNUMX-х гг. VI век до Рождества Христова.

Так что «мысль прошла невредимой». Что дальше? Наступает золотой век. Греки побеждают персов (Марафон — 490 г. до н. э., Платеже — 479 г.). Демократия укрепляется. Возникают новые центры философской мысли и новые школы. Последователи пифагорейства сталкиваются с проблемой иррациональных чисел. Некоторые говорят: «Мы не постигнем эту тайну; мы можем только созерцать его и восхищаться Uncharted». Последние более прагматичны и не уважают Тайну: «Если что-то не так с этими цифрами, оставим их в покое, лет через какие-то 2500 все станет известно. Может, не цифры правят миром? Приступим к геометрии. Важны уже не числа, а их пропорции и соотношения».

Сторонники первого направления известны историкам математики как акустика, Они прожили еще несколько столетий и все. Последние назвали себя математики (от греческого mathein = знать, учиться). Нам не нужно никому объяснять, что именно такой подход и победил: он прожил двадцать пять веков и преуспевает.

Победа математиков над аузматикой выразилась, в частности, в в появлении нового символа пифагорейцев: отныне это была пентаграмма (pentás = пять, gramma = буква, надпись) — правильный пятиугольник в форме звезды. Его ветви пересекаются чрезвычайно пропорционально: целое всегда относится к большей части, а большая часть к меньшей части. Он назывался божественная пропорция, затем секуляризованный на золото. Древние греки (а за ними и весь европоцентричный мир) считали, что эта пропорция наиболее приятна человеческому глазу, и встречали ее практически везде.

(Киприан Камиль Норвид, «Прометидион»)

Закончу еще одним отрывком, на этот раз из поэмы «Фауст» (перевод Владислава Августа Костельского). Ну а пентаграмма – это еще и изображение пяти чувств и знаменитой «ступни чародея». В поэме Гёте доктор Фауст хотел защититься от дьявола, нарисовав этот символ на пороге своего дома. Он сделал это небрежно, и вот что получилось:

Фауст

М эфистофелес

Фауст

И это все про обычный пятиугольник в начале нового учебного года.