Математика и велосипед
Возможно, читатели помнят, что две предыдущие серии были посвящены числу 21, а меня на это спровоцировал некий экзамен на аттестат зрелости в настоящем, двадцать первом году двадцать первого века.
На кости числа расположены так, что сумма на противоположных сторонах всегда равна 7. Прибавим: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Такие числа (представляющие собой суммы последовательных натуральных чисел) называются треугольными, поэтому 21 — это треугольное число (1).
За остальными подробностями отсылаю к предыдущим выпускам, а по поводу числа 21 всего три спортивных курьеза. В пляжном волейболе сет идет о наборе 21 очка, а в баскетболе 3×3 получение 21 очка одной из команд означает окончание матча досрочно. Обычно Тур де Франс состоит из 21 этапа.
Точно — велосипед — хороший гаджет в школьных математических задачах. Я начну с задачи, которая вызывает проблемы у школьников и школьников, даже студентов, изучающих информатику, с которыми я занимаюсь годами. Скажу немного злобно, что не нашлось студента… ну, некоего факультета Варшавского университета, который бы полностью понял решение. «Как я могу помнить что-то по математике, когда полтора года назад сдавал выпускной экзамен в средней школе?»
Задание 1. Я совершил двухчасовую круговую прогулку на велосипеде. Первый час я смело крутил педали со скоростью 20 км/ч, а во второй час тащился только со скоростью 10 км/ч. Ну, я пожилой джентльмен. Какой у меня был средний показатель за весь тур?
Ответ кажется — и есть — очень простым. Среднее есть среднее. Складываем и делим на 2;
Пятнадцать километров в час.
На следующий день я поехал кататься в том же лесу, но с выбранной мною целью. Я хотел добраться до хорошей поляны, которую я знаю. До него было 20 километров. Как и прежде, мне удавалось держать скорость 20 км/ч в этом направлении, но я так устал, что на обратном пути моя средняя скорость упала до 10 км/ч. Какова была моя скорость на всем маршруте?
Как это что? — всегда задавались вопросом школьники и студенты (!). Это то же самое. Половину пути с этой скоростью, половину с этой скоростью. Среднее есть среднее. Складываем и делим на два, потому что «половинки» равны. XNUMX!
Хм. Давайте посмотрим. Моя поездка во второй день составила три часа (час и два обратно). Я проехал 40 км. Это означает, что средняя скорость была
не пятнадцать. Конечно: более медленная езда занимала больше времени, поэтому она должна была иметь большее влияние на средний показатель.
Математически это выражается так: в данной ситуации средняя скорость есть не среднее арифметическое, а гармоника скоростей составляющих. Среднее гармоническое является обратной величиной обратного среднего арифметического. Запишем это по формуле:
Выглядит не очень привлекательно, но двухэтажные дроби не так уж и страшны. У нас есть
Вот так: когда a = 20, b = 10, мы получаем
Вот задание 2, по сути еще и на велосипеде.
Шестерня В радиусом 1 см соединена с переключателем передач с центром в точке А. Если колесо В вращается со скоростью b оборотов в секунду, с какой скоростью в см/с движется точка на окружности большей колесо радиусом 4 хода? (2).
Я не буду давать вам решение, оно простое. С другой стороны, кажущаяся легкой задача определения длины красной линии (а значит, и велосипедной цепи) выходит за рамки школьных знаний. При проектировании зубчатых колес требуется еще более сложная математика. Как спроектировать их, чтобы лучше всего передавать трафик с одного колеса на другое?
Вернемся к более простым задачам. Но это не будет клише.
Задание 3. На этапе Tour de Pologne одинокий велосипедист получил 5-минутное преимущество над пелотоном. Однако он ослаб и может ехать только со скоростью 35 км/ч. Пелотон идет 45 в час. Догонит ли он велосипедиста?
Понятно, что данных для решения задачи недостаточно, ведь если финишная черта будет, скажем, 1 км, то этап, конечно же, выиграет отважный бегун. Если до финиша осталось 100 км, шансов нет. Итак: сколько до финиша пелотону, чтобы догнать его в самом конце, на самой линии? Я тоже не буду давать вам решение — рекомендую попробовать. А может быть, данных еще слишком мало?
Но откуда берется эта циклическая нить? Ясно! Я пишу этот текст в день закрытия Олимпиады в Токио. Несколькими днями ранее мир математиков распространил информацию о том, что золотую медаль в шоссейном велоспорте завоевала австрийка Анна Кизенхофер, математик «в штатском». Я воспринял эту новость с некоторым пренебрежением — неужели нет спортсменов с фиктивным дипломом? Но поскольку знаю, о чем пишу, то посмотрел научные труды золотого медалиста (предыдущую медаль в шоссейном велоспорте за Австрию, тогда еще Австро-Венгрию, завоевал в 1896 году Феликс Адольф Шмаль).
Это просто исследовательская работа на хорошем научном уровне, хотя их немного. Давайте посмотрим на научную карьеру доктора: учеба в Венском технологическом университете, затем Кембридж, докторская степень в Калифорнии, а сейчас работа в Политехническом университете в Лозанне. Не так уж и плохо, не так ли? Вообще спортсмены рассказывают нам о жизни, полной жертв: 300 дней на сборах, чтобы бросить еще полметра, взять полсекунды, поднять еще килограмм, отточить движение весла в воде. Они не обманывают — это цена достижения. Но сесть на байк в перерыве между решением одного уравнения и другим… и при этом перехитрить своих соперников? Хочу напомнить, что Анна Кизенхофер убежала, чтобы другие игроки не знали, что перед ними кто-то есть. Кстати, отметим лингвистическую курьезность: если велосипедист убегает, значит, он атакует!
Олимпийский чемпион имеет дело в основном с полуволновыми картами, которые относятся к уравнениям в частных производных. Этот предмет в учебе был для меня крайне сложным — я получил только четверку с плюсом, но работы в этой области могу оценить очень приблизительно. К сожалению, я не могу в доступной форме написать о результатах Анны Кизенхофер — для этого действительно нужно быть специалистом в заданной области. Могу лишь отметить один из вопросов, не слишком далекий от направлений таких исследований. Это эффективное уравнение теплопроводности, то есть того, как тепло распространяется в данной среде. Представим тарелку любой формы — удобно будет взять квадратную (3)
Имеем заданную температуру по периметру квадрата, не постоянную, а описываемую функцией и. Предположим для простоты, что она не меняется со временем. Другими словами, распределение температуры по всему периметру одинаково. Чему равна температура в точках внутри квадрата? На рис. 3 левый и нижний края остаются равными 0, а две другие стороны увеличиваются пропорционально.
Я напишу соответствующее уравнение, понимая, что оно может быть непонятным. Двадцать пять лет назад это понял бы любой старшеклассник. Это уравнение является самым известным уравнением в частных производных. Оно называется уравнением Лапласа в честь маркиза Пьера Симона де Лапласа (1749-1827). Несколько слов об этом выдающемся ученом по имени французский Ньютон. Он родился в бедной семье, но был известен своими способностями к математике и физике, благодаря чему получил достойное образование. Затем он внес огромный вклад в математику, механику и физику. Достаточно сказать, что он вычислил (да, вычислил!) массу Сатурна. Он получил результат, отличающийся от современных измерений на один процент!
Он сотрудничал с химиком Лавуазье, который активно участвовал во Французской революции и был гильотинирован после прихода к власти другой революционной фракции, и оправдался вердикт, что «революция не нуждается в ученых». Может быть, Лаплас был слишком большим, может быть, более осторожным. В 1806 году (так при Наполеоне) он стал принцем, а в 1813 году (после реставрации Бурбонов) стал маркизом.
В физике и философии известен так называемый демон Лапласа. Он гипотетическое существо, которое знает положения и скорости всех материальных точек в мире. Поскольку все и так описывается системой дифференциальных уравнений, такое существо может предсказать все будущее. Ей достаточно решить эту договоренность. В любом случае, утверждал Лаплас, будущее мира предопределено. Что должно быть, то будет. Это невозможно изменить, потому что все это система дифференциальных уравнений.
Химические (и, следовательно, биологические) процессы. Я не знаю, хорошо это или плохо, но современная квантовая механика говорит, что вы не можете знать одновременно положение и импульс частицы, поэтому ничего не определяется. Но демон Лапласа оживает в виде представления о том, что, может быть, вся наша Вселенная — всего лишь огромный компьютер, просчитывающий собственное будущее… Безусловно, однако Анна Кизенхофер, крутя педали до олимпийского финиша, не подумала о своей пристрастной уравнений или о том, что по Лапласу ее победа все равно была записана в Книге Судеб (т.е. в системе дифференциальных уравнений).
Переходя на следующий уровень экскурса, упомяну нескольких бывших мастеров спорта, имевших приличное высшее образование. «Старый» — потому что сейчас диплом получить несравненно проще… но это тема для другой статьи. Среди этих спортсменов было много врачей. Например, Роджер Баннистер (1929-2018, первый человек, пробежавший милю менее чем за 4 минуты 6 мая 1954 года; текущий рекорд всего на 16 секунд лучше, 3.43,13, и не побит с 1999 года). Врачом был Стефан Левандовски (1930-2007, лучший бегун на средние дистанции в Польше в 1930-е годы)… и еще Левандовски (Збигнев, 2010-2), который первым поляком прыгнул на 12 метра в высоту (1957 мая 1,96 года). 1934). Да, довоенный рекорд принадлежал Збигневу Плавчику (2015). Видимо, Левандовски такое спортивное имя. Первая обладательница золотой медали Польши после войны Эльжбета Дуньская-Кшесинская (1956-6, прыжки в длину, Мельбурн, 35, XNUMX м XNUMX см) была дантистом.
Я завершу этот список боксером. Казимеж Паздзиор (1935-2010, золотая медаль в Риме в 1960 г.) получил степень магистра эргономики. Мы обычно предполагаем, что выпускной экзамен в средней школе до 1939 года похож на степень магистра примерно 1950-65 годов и сегодняшнюю докторскую степень.
У самой известной польской спортсменки Ирэны Шевиньской (1946-2018) тоже было высшее экономическое образование – я видел ее в университете, потому что мы учились в одни годы. В основном она бегала по лестнице. Она была на полтора месяца моложе меня.
Многие математики были хорошими альпинистами, но у меня нет сведений о том, что они добились выдающихся результатов в классическом спорте. Это была только Анна Кизенхофер. Пресса писала потом, что она все просчитала…
Ну и, наконец, немного математики, давайте вернемся к рисунку 3. Пожалуйста, не переживайте, если какое-то время не понимаете. Через какое-то время снова станет легко. А уравнение Лапласа даже красиво выглядит. В левой части у нас есть оператор Лапласа.
Такая формула понятна любому читателю, знакомому с исчислением. Для них также будет делом простой проверки, что ряды решений представляют собой функции 1, x, y, x2-y2, 2xy, x3-3xy2, 3x2y-y3, а общее полиномиальное решение: действительное часть и мнимая часть выражения для последующих n = 0, 1, 2, 3, 4,…
Но решить ее в любом случае можно. Температура в центре квадрата есть среднее арифметическое температур в вершинах. Итак, в середине квадрата (3 и 4) у нас есть температура
, среднее из чисел 0, 0, 0, 1. Разбивая квадрат дальше на более мелкие ячейки, мы находим его в каждой точке плотной сети — но как бы в каждой точке.
5. Решение уравнения Лапласа с заданными граничными условиями.
Приходим к выводу, что решением задачи, описанной на рис. 2, является функция u = xy (5). Для других граничных условий решение может быть очень сложным, но его можно получить из многочленов, которые я написал выше. Дальше дело сильно усложняется, есть гармонический анализ, ряды Фурье и вообще высшая математика, и все имеет четкий практический — физический подтекст.
В работах Анны Кизенхофер часто появляется симплектическая геометрия. Само слово «симплектический» интересно. Ее создал один из самых умных математиков своего времени Герман Вейль (1885–1955). В слове «complex», которое в переводе с латыни может означать «сплетенные воедино» (у нас в стране есть «комбинированные больницы»), мы заменяем латинское «co-» на греческое «sym-» и имеем симплектику в английском языке. , который вернулся в наш язык как «симплектический». Но что это такое?
Это можно приблизительно представить так. В традиционной геометрии важны расстояния между точками, углы между линиями и площади фигур. Перемещение и вращение не меняют характеристики фигуры: она сохраняет тот же периметр, те же углы и ту же площадь. Но есть преобразования, которые меняют и расстояния, и углы, но не меняют поля.
6. Курсив как-то связан с симплектической геометрией!
На рисунке 6 мы видим отображение, сохраняющее площади фигур. Это обычный курсив на итальянском языке. По отношению к простому шрифту верхняя часть букв смещается на две единицы (отсюда цифра 2 в таблице), нижняя не меняется, а средние части смещаются пропорционально.
В 1875 году немецкий математик Феликс Клейн сформулировал так называемую Эрлангенскую программу. Он навязал нам новый топос геометрии. Топос — это более или менее способ, которым мы должны думать о чем-то, через который очки должны смотреть на мир. Со времен Клейна мы говорим, что геометрия есть изучение инвариантов группы преобразований. Сдвиги и повороты сохраняют длины, преобразования с определителем 1 (что бы это ни значило) не меняют полей, а третьи не меняют, скажем, углов. Мы знаем такие отображения. Вспомним карты в проекции Меркатора. Плата за точность — деформация полярных областей — Гренландия размером с Африку, а Антарктида тянется через всю карту. Но даже у такой карты есть свои преимущества. В симплектической геометрии не меняется еще кое-что (а именно кососимметричная дифференциальная форма), но это тема для отдельной статьи.
Олимпийская медаль круглая, как круг с неравенством x2 + y2≤r2, сумма квадратов не больше квадрата радиуса. В симплектической геометрии часто бывает разность квадратов x2-y2, и миссис Энни Кизенхофер нужна еще одна медаль, чтобы они оба выглядели как велосипедные колеса.
