Квадратные квадраты

Я помню, как был поражен предложением из самой популярной детской книги в мои юные годы. А именно, Пятачок посмотрел на дом Пуха и (примечание здесь): чем больше он смотрел, тем больше Пуха там не было. Я не понял этого. И это просто. Пух не становился все больше и больше!

Иногда математическая терминология играет с нами злую шутку. Достаточно осознать, что известное понятие «прямоугольный треугольник» как минимум странно, ведь треугольник не может быть прямоугольником. Но мы к этому привыкли. В университетской математике есть понятие замкнутого множества и открытого множества. Получается, что если множество не открыто, то его вовсе не обязательно закрывать, и это даже хуже, потому что оно может быть и открытым, и закрытым одновременно. Наверное, у каждого преподавателя был ученик, который на вопрос, что такое график квадратичной функции, отвечал «квадрат» и оправдывался: «потому что прямая — это график линейной функции». Такие вещи присутствуют в юридическом языке — просто в профессиональных жаргонах слова иногда имеют несколько иное значение, чем разговорное.

Ну, а с тем, что квадрат есть квадрат, согласятся все. Квадрат — это частный случай прямоугольникахотя в повседневном языке мы иногда противопоставляем квадратную форму прямоугольной. Прямоугольник 11 × 12 «почти» квадрат, а тот, у которого стороны 10 и 20, становится очень далеким от квадрата. Также, когда мы увидим комнату в форме трапеции размерами 5×5×5×4 м, мы скажем, что перед нами почти квадратная гостиная. И можно ли сказать, насколько фигура похожа на квадрат? Сколько процентов?

Математика — это язык чисел, форм и мер. Измерим степень сходства фигур с квадратом. Изложу в доступной для учащихся начальных классов форме.

Измерение населения на прямоугольном острове

1. Квадраты от 1×1 до 10×10. Прямоугольник 11 × 12

В Фигурном море (на самом деле это залив Малого океана) лежит Прямоугольный остров, населенный фигурами, чьи все углы правильные. Жители разного цвета, у каждого свой определенный цвет. Расизма не существует.

Древние легенды на острове говорят о других существах, даже совершенно круглых, но никто не может их себе представить. На протяжении многих поколений здесь правила династия Квадрат. Вот портреты членов династии (1), от Крошечной площади, через все более крупные и до Голубой площади X. Х — это не Х, а римское число десять. Вы знаете римские цифры, собственно знаки для записи чисел? Мы поговорим об этом в другой раз. А пока у нас другое беспокойство. Наследник престола, Принц Жёлтый, уже не квадратный. Какой это размер? Ну 11×12. Что делать с династией? Может, влить в нее свежей крови?

Именно в связи с этим царь приказал провести смотр своим подданным. Кто любит его больше всего, их короля, кто больше всего похож на него? Сначала ученые-математики разработали соответствующую формулу. Короля и всех Квадратных отмерили с должным уважением. Потом предполагали, что у них будет Единица — не этот школьный разряд, а разряд Первого Гражданина. И мерители рассредоточились по всему острову, приложили линейку к каждому и присвоили линейке соответствующую степень подобия. Какова была мера? Королевский указ гласил:

Окружность горожанина нужно разделить на 4, полученное число возвести в квадрат и разделить на него площадь. А кто не поймет и не сделает этого, того я кнутом дрессирую и так научу. Вы получите ММ — Меру Любви, которую вы испытываете ко мне, вашему Королю, моему возлюбленному. Мне и моей семье. У кого это число равно или близко к единице, значит, они меня любят. Те, для кого это число мало, — негодяи, и они должны совершенствоваться в любви ко мне, вашему королю. (что на латыни означает: я сказал).

Давайте тоже проверим, хотя бы из страха перед царским кнутом. Милостиво Правящий Король Десятый Синий имеет площадь 10 умножить на 10, так как сторона равна 10. Периметр равен 40. Делим периметр на 4. Получаем 10. Возводим в квадрат 100. Площадь равна 100. Можете ли вы разделить 100 на 100 ? Ты сможешь.

Результат 1 процентов. Конечно. Король на 100 процентов похож на самого себя. Как это было в прошлом? Как Оранж? Это было 100 × 8, поэтому площадь была 8. Окружность 64 × 4, или 8. Делим длину окружности на 32. Получаем 4. Возводим в квадрат и получаем 8. Делим площадь на 64. Снова получается 64. Как это будет с остальными членами династии? Вы имеете в виду для других квадратов?

Упражнение. Напишите формулу из королевского указа красивым узором. Как можно проще.

2. Насколько квадратны эти фигуры?

Давайте найдем MM (Measure of Love) для желтого. Это уже не квадрат, а прямоугольник. Площадь прямоугольника размер 11 × 12 равен 132. Рассчитайте без использования калькулятора. А схема? Конечно: 11+12+11+12, то есть два раза по 23, то есть 46. Теперь сложнее. Разделите 46 на 4. Это 11 1/2, одиннадцать с половиной. Поднимите на площадь. Фу, сложно. Разделите поле на полученное число. Я обошёлся без калькулятора и получил дробь 528/529. Это почти 1, преобразуйте его в десятичную дробь. Это неплохо — Желтый не квадрат, но на 99,8% похож на своих предков.

Вернемся к указу Всемилостивейшего Господа, по которому каждый гражданин будет измерен и получит свою Меру Любви, которую он испытывает к нашему Возлюбленному Царю. Пожалуйста, встаньте в очередь. Измеряем (2).

Во-первых, прямоугольники. Кто первый? О, приятель Апельсин. Каковы ваши размеры? Понятно, 8×4. То есть поле 32, окружность 24. К сожалению, мне приходится делить вашу окружность на 4, возводить в квадрат (будет 36), а поле делить на 36. Гы, вы любите своего короля только на 88%? Пожалуйста, приведите себя в порядок!

Какие ММ являются следующими прямоугольниками? Фиолетовый, красный погуще, красный пожиже?

Мы рассчитаем ММ для черной длинной змеи внизу доски (2). Он длинный на всю доску (32 кнопки) и слегка загнут вверх. У него схема 32+3+5+1+4+1+30+1+4+1+5+3, уф, сложить без калькулятора? Я сделал это, знаешь как? Я сгруппировался в мыслях примерно так: (32 + 3 + 5) + (1 + 4 + 1 + 30) + (1 + 4 + 1 + 5 + 3) = 40 + 36 + 14 = 40 + 50 = 90.

Окружность так 90. Какое поле? Сколько кнопок? 32 + 6 + 6 = 44. Теперь посчитаем ММ. 44 разделить на 22 с половиной в квадрате. Без калькулятора, ясно? Ну, если только ты не можешь. У вас должно получиться 176/2025, что составляет примерно 0,087, то есть восемь с половиной процентов. Ну, эта змея очень мало похожа на квадрат.

Вы можете легко измерить ММ для блока z иллюстрация 3. Давайте сделаем это вместе.

3. Насколько квадратным является этот кирпич?

Сколько кнопок, такое поле. Считаем: 53. Знаешь, как это легко? Размер доски 6 × 12, свободных мест 19, значит, красных 53.

в настоящее время схема. О, это сложно и утомительно. Я посчитал, и получилось 64. Теперь наш множитель равен 53, деленным на 16 в квадрате, 53/256, примерно одна пятая. Но я имею в виду другое. Вы знаете, где находится остров Целебес? Возможно нет. Найдите его в атласе (можно в интернете). Смотрите: у него длинная береговая линия, остров в форме осьминога был бы еще длиннее — по отношению к его поверхности маленький ММ. Осьминоги не любят Квадратного Короля. В следующий раз я постараюсь объяснить вам, что такое фрактал.

Да-да, еще и на кубиках Лего.

Восьмиугольник с квадратом?!

Давайте уже покинем наш остров, хотя в следующих путешествиях мы к нему еще вернемся. Чему мы научились? Мы научились измерять, насколько похожи фигуры. Подчеркну, что это лишь определённый путь, несовершенный и иногда весьма запутанный. Но мы уже можем кое-что измерить. Это также то, что касается математики. Таким образом, измерьте кресты, показанные на иллюстр. 2 (светло-зеленый, светло-розовая звезда, темно-синий, темно-зеленый, розовый и светло-голубой). У них будут небольшие коэффициенты ММ, но это не главное. Какой будет похож?

4. Восьмиугольник, который я назвал «красивым», и правильный восьмиугольник.

Вот интересное и познавательное задание. Для его использования давайте назовем восьмиугольник красивым, если он имеет форму, подобную этой. иллюстр. 4. Он неправильный — стороны имеют разную длину, но делит угловые квадраты на равные треугольники по диагонали. Периметр такого восьмиугольника равен 4/3 + 4/3 2 единицы длины, а площадь 7 9 в квадрате. Итак, ММ (Мера Любви) это:

Сначала проверим расчеты. Они в порядке. Но что-то странное! Мера сходства такого восьмиугольника с квадратом превышает 100 процентов. Октагон так это более совершенный квадрат, чем квадрат?! Анонимный студент, чье мнение я прочитал в Интернете было правильным: математика дурит людей цифрами!!!

Во взгляде ученика есть доля правды. Плохо используемая математика может обмануть того, кто ее не знает. Хлебный нож или бейсбольная бита при неправильном использовании могут… ну, мы все знаем, на что они способны!

Где ошибка? Это очень тонко. Формула, введенная королевским указом о Прямоугольном острове, хорошо работает для прямоугольные фигурыпод которым я подразумеваю всех их углы прямые. Для других фигур он дает не столько меру «квадратности», сколько округлости фигуры — отношение длины окружности к площади, о чем я постараюсь написать в следующем эпизоде.

Задания для читателя

1. Вычислить ММ для правильного шестиугольника и для правильного восьмиугольника.
2. Как вы думаете, какая мера сходства с Императором используется на Треугольном острове, населенном Треугольниками? Вот портреты членов императорской семьи: Треугольная императорская семья во всей красе
   
   

   6. Треугольная императорская семья во всей красе

3. Какой восьмиугольник имеет дорожный знак STOP? Это тот, который я назвал красивым, или обычный восьмиугольник? Если вы не знаете, проверьте это, когда в следующий раз будете гулять по городу, в котором живете. Ленивые могут проверить в интернете.

В каждой сказке есть доля правды. В моем рассказе о Прямоугольном острове упоминается, что где-то могут быть круглые существа, но их никто никогда не видел. Мы знаем — мы знаем круги, эллипсы, параболы и синусоиды. Насколько они похожи на самые совершенные из плоских фигур — круги?

Об этом в другой раз.

Смотрите также: