Кривые красоты Лиссажу вибрируют

Я думаю, что в начале, уважаемые читатели, следует дать несколько пояснений. Что такое загадочные кривые (иногда называемые фигурами Лиссажу)? Математик или физик сразу ответил бы, что это параметрические кривые, заданные формулой: x(t) = A sin(at + w), y(t) = B sin(bt). Эти кривые описывают гармонические колебания. Впервые они были описаны американским математиком Натаниэлем Боудичем, но больше связаны с именем Жюля Антуана Лиссажу, поскольку именно он начал их изучать с помощью построенного им прибора.

Я понимаю, что приведенная выше формула может убедить не всех, особенно тех, кто по каким-то неизвестным мне причинам питает отвращение к математическому описанию. К счастью, это также можно объяснить графически (1). На этом рисунке показаны три простейших случая кривых Лиссажу, т. е. когда частоты обоих синусоидальных колебаний, возникающих в перпендикулярных плоскостях (компоненты x и y), одинаковы.

Формирование кривых Лиссажу; результирующие вибрации (левый столбец), колебания компонентов (правый столбец)

Однако случаи A, B и C различаются фазовым сдвигом, который является аргументом в формуле, приведенной выше. Итак, у нас есть:

• согласование фаз колебаний компонентов (φ = 0) — кривая представляет собой отрезок прямой (1А);
• одна фаза колебаний смещена на 90° по отношению к другой (φ = π/2) — кривая представляет собой окружность (1В);
• фаза одного колебания сдвинута на 180º по отношению к другому (φ = π) – кривая является зеркальным отражением отрезка из случая А (1С).

Подбирая надлежащим образом как частоты, так и фазовый сдвиг, можно получить различные кривые, часто с удивительно эстетичным видом.

Но как получить такие кривые, особенно если вы не хотите просто кропотливо рисовать их на листе бумаги или на экране компьютера?

Есть много способов. Например, можно (как и сам Лиссажу) наблюдать отраженный от зеркал луч света, колеблющийся в перпендикулярных плоскостях. Также неплохо использовать осциллограф, который имеет возможность наклона пятна как по осям X, так и по Y — тогда достаточно подключить к прибору два электрических сигнала с регулируемой частотой и фазой.

Наконец, свойства специального маятника также можно использовать для построения кривых Лиссажу.

Doświadczenie

2. Построение маятника для наблюдения кривых Лиссажу.

Для получения кривых Лиссажу в домашних условиях удобно использовать маятник соответствующей конструкции (2).

Рассмотрим, как будет работать такой маятник. Мы знаем, что при малых отклонениях период T колебаний маятника можно описать формулой:

где:

l — длина маятника,

g — Ускорение силы тяжести Земли. Маятник с предлагаемой конструкцией в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, будет совершать колебания с периодом Т1, а в плоскости чертежа — с периодом Т2. Периоды колебаний будут различаться из-за разницы эффективных длин маятника в этих плоскостях L1 и L2 соответственно. Если L2 немного меньше L1, то существенной разницы в частоте колебаний мы не наблюдаем. Однако взаимный фазовый сдвиг (в диапазоне от 0 до 2p) изменится, так как одно колебание будет опережать другое. Это позволит рисовать интересные кривые Лиссажу.

В моих экспериментах длины маятников были приблизительно равны:

• L1 – 1,40 м
• L2 – 1,30 м

Масса использованного груза составляла 0,05 кг. Лучший способ визуализировать кривые Лиссажу — это долговременная фотосъемка.

контакт. Затем к грузу маятника необходимо прикрепить простой осветитель, сделанный из светодиода, последовательно соединенного с ним резистора (R в диапазоне 1-5 кОм) и миниатюрной батареи 3 В (например, типа CR2032). Камеру следует расположить под маятником и направить вверх, как показано на рис. 2. Затем следует сфотографировать движущийся маятник в темноте, разумеется, с включенным осветителем, а время экспозиции подобрать экспериментально. Обычно это будет несколько или несколько десятков секунд.

Записанные таким образом изображения кривых Лиссажу представлены на вступительной иллюстрации. 

3. Еще одна кривая Лиссажу

При несколько иных длинах L1, L2, а также при большей выдержке была получена кривая, показанная на рисунке 3. Итак, мы видим, что фигуры, полученные даже таким очень простым способом, отличаются специфической, геометрической красотой. Конечно, вид кривых можно варьировать в очень широких пределах. Вам нужно только изменить длину маятника, а также продолжительность времени экспозиции. .

Литература:

Crawford FC, «Waves», Варшава, польское научное издательство PWN, 1973 Gaj J.,

«Физическая лаборатория дома», Научно-техническое издательство, Варшава 1985 Taylor CA,

«Искусство и наука демонстрации лекций», CRC Press, 1988, 50-54.