Кривые красивые

Темой для статьи стала… опасная автомобильная ситуация, в которой я оказался одним октябрьским утром. В варшавском районе Мокотув я ехал (в гору, это важно) с кривым подъездом к виадуку. Дорога была мокрой. Я ехал быстрее разрешенных 50, это правда. В какой-то момент я заметил, что кривая становится глубже… и меня бросило то вправо, то влево. Нормальный занос. Наверное, меня спасло то, что я поднимался в гору. Еще один или два выстрела, но я не спрыгнул с бордюра. За моей спиной никого не было, и все закончилось страхом.

Потом я увидел эту запись на Google Maps. Он был правильно профилирован. Что это значит? Не нужно быть математиком, чтобы понять, что прямая линия имеет нуль, а окружность (ребро окружности) имеет постоянную кривизну. Каждый также поймет, где кривизна больше или меньше (1).

1. На такой гоночной трассе эмоции гарантированы.

Физики часто говорят о искривление пространства. Наша Вселенная плоская или имеет положительную или отрицательную кривизну? Это сложно представить, ведь как можно весь мир искривить? Не самой поверхности Земли, а всего космоса, в котором мы живем?

В юности я часто ездил ночным поездом, часто стоя. Представьте такой поезд, а зимой — окна запотевшие, ничего не видно. Ничего не меняется, только вагоны подпрыгивают на стыках рельсов. Можем ли мы почувствовать, что дорожка изгибается? Конечно — если «что-то» прижимает нас к левой стене, значит, мы поворачиваем направо.

2. Клотоида – кривая, у которой радиус кривизны растет равномерно. Именно так должны профилироваться скоростные повороты и кривые на автомагистралях. Приложенный рисунок, конечно

«Переусердствовал» — на самом деле используется только небольшая часть кривой.

Точно так же мы почувствуем изгиб, когда идем с завязанными глазами по слегка холмистому лугу («аккуратно» для нашей безопасности). Если вдруг нам становится тяжелее идти, местность искривляется. В обоих случаях для определения кривизны требуется определенная величина кривизны. прочность (сила инерции для поезда, гравитация для ходьбы в темноте по лугу).

Его будущее зависит от кривизны Вселенной, но нас там больше не будет.

Примите сферичность

Второй вклад в эту статью — задание, которое я дал в качестве домашнего задания первокурсникам по информатике. Я был удивлен, что им было очень трудно. И это легко и информативно.

Как мы знаем, Земля не плоская — во что нашим прапрадедушкам было трудно поверить. Впрочем, какое им дело? Его даже не заботил Шерлок Холмс, известный своим умом и пониманием.

Выдающийся математик из Львова, а затем из Вроцлава, Хьюго Штайнхаус (1888-1972) говорил, что земной шар устроен непрактично. Из множества афоризмов Штейнхауза приведу один:

Сферичность Земли предлагает множество интересных нитей для геометрических задач. Математическая Земля представляет собой сферу с радиусом 6371 40 км и длиной окружности 000 2 км. Эти данные не вполне согласуются — сфера с заданным радиусом имеет длину окружности 2πR = 3,14159 · 6371 · 40030,2 = XNUMX XNUMX км. Кроме того, мы не учитываем сплющивание Земли, которое тоже мало.

Задание 1. Из аэропорта. Иоанна Павла II в Балице (т.е. в Кракове) самолет летел на север. Он пролетел 222 км, затем повернул на восток и, продолжая движение на восток, также пролетел 222 км, затем повернул направо на юг и также пролетел 222 км, наконец преодолел 222 км, направляясь на запад. Летчик, к своему удивлению, увидел аэропорт, но с большого расстояния. Как это объяснить? Где находится самолет?

Решение. Если бы Земля была плоской, пилот летел бы по квадратной окружности, заканчивая полет в точке взлета (3). Можно легко подсчитать, что в 222 км к северу от Балице находятся окрестности Ловича. Однако земля не плоская.

3. Самолет из задачи 1 должен достичь начальной точки и в том случае, если Краков и Лович находились на противоположных сторонах экватора, каждый на расстоянии 111 км от него.

Полный угол равен 360 градусов, поэтому 1 градус на экваторе равен

что округлим до 111. Значит 222 км это два градуса — на экваторе и на каждом меридиане.

Все меридианы сходятся на полюсах. Чем дальше от экватора, тем короче параллелограмм. У поляка «совсем нет» — это один балл. Полюса не имеют долготы. Широта полюсов составляет ± 90 градусов. Таким образом, самолет летел по «изогнутому параллелограмму». Если бы он хотел вернуться точно в исходную точку, ему пришлось бы пролететь чуть меньше 52 км по 222-й параллели (4).

4. Земля сферическая — меридианы сближаются, а параллели становятся короче.

Сначала определим длину параллели, соответствующей широте φ. На рыс. 5 мы видим Землю в разрезе. Радиус r параллели, на которой лежит точка, равен cos φ, поэтому вся параллель равна 2 · π · = 2 · π ·· cos φ.

5. Математическая Земля. Радиус экватора R = 6371 км. Широта φ сайта K представляет собой угол между плоскостью экватора и радиусом OK.

Карты Google дают координаты аэропорта Балице — широта очень хорошее приближение 50 градусов (северная широта). Мы обычно обозначаем ширину греческой буквой φ. При φ = 50° имеем r = r₅₀= 40000 50 cos 25711,5° = 25711,5 52 км. Параллель Балице составляет 24626,5 XNUMX км. На широте XNUMX градуса аналогичный расчет дает XNUMX XNUMX км.

Сколько градусов соответствует 222 км на 50° широты?

Так как 360 градусов это 25711,5 222 км, то XNUMX км это эквивалент

степень. При ширине 52 он уже есть

степень. Мы не будем переводить в градусы и угловые минуты.

Задание 2. Или, может быть? Выразите 3,245 градуса в градусах, минутах и ​​угловых секундах.

Возвращаемся к самолету. Как дела? После трех полетных отрезков он вернулся на ту же широту (Баличе, 50 градусов), но на долю градуса восточнее, примерно 3,245-3,108 = 0,137 градуса. На широте Balice, это он

Взгляд на карту показывает, что самолет находится над Кшеславицкими холмами. Он уже может видеть Балис…

Задание 3. На какой широте проходит параллель длиной 222 км?

Задание 4. Сиднейский аэропорт Австралии имеет аббревиатуру SYD. Широта этого места 32°, конечно южная. Самолет вылетает из Сиднея, проходит 222 км на север, затем 222 км на восток, затем 222 км на юг и снова 222 км на запад. Это впереди, позади или точно над аэропортом?

Задание 5. Аэропорт Анкориджа (Аляска, США) расположен на 61° северной широты. Самолет вылетает оттуда и летит сначала на юг к экватору, затем по экватору на запад, и обратно в Анкоридж по меридиану. Получается, что маршрут представляет собой равносторонний треугольник. Где самолет прибывает и покидает экватор?

Задание 6. Мы знаем, что на трансконтинентальном перелете из Японии в США «выигрываем один день» — пересекаем международный строка изменения даты и мы возвращаемся 24 часа. Так всегда бывает, когда мы путешествуем «с солнцем» — с запада на восток, и пересекаем эту линию. Мы живем одним днем ​​с самого начала. Наоборот, на обратном пути, из Токио — теряем один день. Участники впервые воспользовались этим. Экспедиции Фернан Магеллана. «Привезли» четверг в Европу, когда на материке уже была пятница. Это было важно по религиозным причинам и для строгого соблюдения поста в то время. Должен ли я тогда делать бортовой четверг или континентальную пятницу? Он тоже получил от этого пользу Филеас Фогг в романе Жюля Верна «Вокруг света за восемьдесят дней». Благодаря этой разнице он выиграл астрономическую сумму в 20 XNUMX. фунты стерлингов.

В 16 веке прошу «дядю Гугла» о быстром соединении из LAX в NRT, то есть из Лос Анжелеса в Токио. Вот один из вариантов: вылет 4 декабря в 25:10, прилет в тот же день в 40:XNUMX. Мы получаем несколько часов жизни за дурацкую тысячу долларов. Разве это не фантастика?

6. «Выровняйте» дорожки для бегунов на легкоатлетической дорожке.

Но поэтому задача. Мы идем недалеко от полюса — так что нам потребуется час, чтобы его обежать. Мы бегаем с запада на восток. С каждым часом мы моложе на один день. Бегая достаточно долго, мы можем омолодиться настолько, насколько захотим… Можем также — каждый раз возвращаемся почти на XNUMX часа назад во времени, потому что пересекаем линию дат каждый раз в одну сторону. Однако, как мы чувствуем, это не вернет нас в детство и даже не на неделю. Значит, мы ошибаемся в своих рассуждениях. Но где?

Задание 7. Какое расстояние должен пройти наш самолет над Мазовией, чтобы оказаться над Балице после поворота на юг и преодоления 222 км?

Справедливость на беговой дорожке

7. Легкоатлетический стадион.

Третьей причиной выбора темы статьи стал недавний чемпионат мира по легкой атлетике. Польская женская эстафета 4×400 м завоевала серебряную медаль. В подростковом возрасте я посещал Мемориал Кусочинского — тогда конкурс собирал десятки тысяч болельщиков. Я всегда был очарован «выравнивание».

Это легко понять — у спортсмена, бегущего по внешней дорожке, более длинный путь по дуге. Поэтому старт придется отложить. В то время мне казалось, что расчет такого уравнения сложен. Получается, что… так и есть, но не из-за математики, а из-за правил Международной ассоциации легкоатлетических федераций (ИААФ).

Правило ИААФ № 160 указывает, что дорожки должны быть шириной 122 см с разделяющей их линией. В другом разделе рекомендуется (но не предписывается), чтобы прямые и дуги были одинаковой длины.

Что означает это последнее условие? Тот факт, что финиш прямой и так называемый противоположная имеет длину 100 м, и на каждую из арок приходится также по 100 м.

Теперь сравним две соседние дорожки, например первую и вторую. Так как первая 400 м, а ширина дорожки 122 см, то радиус кривой второй дорожки равен 31,83 + 1,22 = 33,05 м. Спортсмен делает два полных полукруга и, следовательно, бежит за 2 ∙ π ∙ 33,05 дуги, 207,66 = 200 м вместо 7,66. Компенсация должна быть XNUMX м.

Иная ситуация в эстафете 4 × 400 м. Участники сбегают к бордюру после преодоления 500 м, то есть после прохождения полутора кривых. Створ для соседних дорожек поэтому в полтора раза больше, т.е. целых 11 м 49 см. Когда стартуют восемь команд, стартовые блоки участника с внешней дорожки находятся более чем на 80 метров впереди внутренней дорожки. Однако на финише все выравнивается.

Ввинтить как болт

И все еще . Когда мы въезжаем на многоэтажную парковку под крышей, мы поднимаемся по арочным подъездным дорожкам. Мы ввинчиваемся, как болт. Положение руля не меняем. Мы следуем пространственной кривой с постоянной кривизной. Есть только одна такая кривая. Все чаще его называют ошибочно, а правильное название, к сожалению, менее поэтично. спираль.

8. Спираль и спираль на конусе (шуруп).

Он представляет собой сочетание равномерного вращательного движения с равномерным поступательным. Важно осознавать важность того факта, что существует только одна кривая, которая может скользить сама по себе. Болты должны иметь… форму спирали. это не дает технике ничего другого, из чего выбирать.

Здесь будут протестовать плотники и все любители работы с деревом — ведь шурупы конические! Да, но поэтому подходит только для дерева. Они проталкивают материал, в который вкручиваются. Они не смогут справиться с плитой.

Смотрите также: