Как хорошо, что оно делится на 2

Время от времени я ставлю заплатку своим коллегам-физикам, говоря, что физика сама по себе слишком сложна для них. Современная физика стала более математической на 90%, если не на 100%. Учителям физики свойственно жаловаться, что они не могут хорошо преподавать, потому что у них нет в школе соответствующего математического аппарата. Но я думаю, что чаще всего… просто учить не могут, поэтому говорят, что должны иметь соответствующие понятия и математические приемы, особенно дифференциальное исчисление. Это правда, что только после математизации вопроса мы можем полностью понять его. Слово «вычислить» имеет общую тему со словом «лицо». Показать свое лицо = быть вычисленным.

Мы сидели с коллегой, польским филологом и социологом Анджеем, у прекрасного озера Мауда, Сувалки. Июль в этом году был холодным. Уже не помню, зачем рассказывал известный анекдот про мотоциклиста, который не справился с управлением, врезался в дерево, но выжил. В машине скорой он бредил, «как хорошо, что хоть на двоих поделился». Доктор разбудил его и спросил, что происходит, что делить или не делить на два. Ответ был: mv².

Анджей долго смеялся, но потом робко спросил, о чем мв2. я объяснил это Е = мв²/2 это формула для кинетическая энергиясовершенно очевидно, если вы знаете интегральное исчисление, но не понимаете его. Через несколько дней он попросил объяснения в письме, чтобы оно дошло до него, польского учителя. На всякий случай я сказал, что в России нет царских дорог (так сказал Аристотель своему царственному ученику Александру Македонскому). Всем им приходится страдать одинаково. О, это правда? Ведь опытный горный гид проведет клиента по самому простому пути.

mv² для чайников

Андрей. Я был бы недоволен, если бы следующий текст показался вам слишком трудным. Моя задача: объяснить тебе, о чем этот клип². В частности, почему квадрат и почему мы делим на два.

Вы видите: mv — это импульс, а энергия — это интеграл импульса. Простой?

Чтоб физик вам ответил. А я… Но на всякий случай, в качестве предисловия, напоминание о былых временах. Нас этому учили в начальных классах (среднего еще не было).

Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении или уменьшении одной увеличивается или уменьшается другая, всегда в одной и той же пропорции.

Например:

Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9

И 5 10 15 20 25 30 35 40 45

В этом случае Y всегда в пять раз больше, чем X. Мы говорим, что коэффициент пропорциональности равно 5. Формула, описывающая это отношение, имеет вид y = 5x. Мы можем нарисовать график прямой линии y = 5x (1). График пропорциональности прямой представляет собой равномерно восходящую прямую. Равным приращениям одной переменной соответствуют равные приращения другой. Следовательно, более математическое название такой связи: линейная зависимость. Но мы не собираемся его использовать.

1. График функции y = 5x (другие масштабы по осям)

Обратимся теперь к энергии. Что такое энергия? Согласимся, что это какая-то скрытая сила. «У меня нет сил на уборку» — это почти то же самое, что «У меня нет сил на уборку». Энергия — это скрытая сила, дремлющая в нас и даже в вещах, и ее хорошо укротить, чтобы она служила нам, а не вызывала разрушения. Мы получаем энергию, например, заряжая аккумуляторы.

Как измерить энергию? Это просто: мера работы, которую он может сделать для нас. В каких единицах мы измеряем энергию? Так же, как работа. Но для целей этой статьи мы будем измерять его в… метрах. Как так ?! Посмотрим.

Предмет, подвешенный на высоте h над горизонтом, имеет потенциальная энергия. Эта энергия высвободится, когда мы перережем нить, на которой висит тело. Затем он упадет и проделает какую-то работу, даже если он просто проделает дыру в земле. Когда наш объект летит, он обладает кинетической энергией, энергией самого движения.

Мы легко можем согласиться с тем, что потенциальная энергия пропорциональна высоте h. Перенос груза на высоту 2 часа утомит нас в два раза больше, чем подъем на высоту h. Когда лифт доставит нас на пятнадцатый этаж, он будет потреблять в три раза больше столько электричества, сколько на пятом… (написав это предложение, я понял, что это неправда, потому что лифт, кроме людей, несет еще и собственный вес, и немалый — для экономии примера, у вас заменить лифт, например, строительным краном). То же самое относится и к пропорциональности потенциальной энергии к массе тела. Для перевозки 20 тонн на высоту 10 м требуется в два раза больше электроэнергии, чем для 10 тонн на 10 м. Это можно выразить формулой E ~ mh, где тильда (т.е. знак ~) — знак пропорциональности. Удвоенная масса и удвоенная высота равняются четырехкратной потенциальной энергии.

Придание телу потенциальной энергии путем подъема на определенную высоту не имело бы места, если бы не сила тяжести. Именно благодаря ей все тела падают на землю (на Землю). Эта сила работает так, что тела получают постоянное ускорение. Что означает «постоянное ускорение»? Это означает, что падающее тело неуклонно и неуклонно увеличивает свою скорость — точно так же, как автомобиль трогается с места. Он движется все быстрее и быстрее, но ускоряется с постоянной скоростью. Мы скоро увидим это на примере.

Напомню, что мы обозначаем ускорение свободного падения через g. Это около 10 м/с². Опять же, у вас может возникнуть вопрос: что это за странная единица — квадрат секунды? Однако следует понимать иначе: каждую секунду скорость падающего тела увеличивается на 10 м в секунду. Если в какой-то момент он движется со скоростью 25 м/сек, то через секунду имеет скорость 35 (м/сек). Также понятно, что здесь мы имеем в виду тело, которое не слишком обеспокоено сопротивлением воздуха.

Теперь нам нужно решить арифметическую задачу. Рассмотрим только что описанное тело, которое в один момент имеет скорость 25 м/сек, а через секунду 35. Какое расстояние оно пройдет за эту секунду? Проблема в том, что скорость переменная и для корректных расчетов нужен интеграл. Однако оно подтвердит то, что мы чувствуем интуитивно: результат будет таким же, как и для тела, движущегося равномерно со средней скоростью: (25 + 35)/2 = 30 м/сек. — и, следовательно, 30 м.

Давайте на мгновение переместимся на другую планету, с другим ускорением, например, 2g. Понятно, что там мы набираем потенциальную энергию в два раза быстрее — поднимая тело на высоту в два раза ниже. Таким образом, энергия пропорциональна ускорению на планете. В качестве модели возьмем ускорение свободного падения. И поэтому мы не знаем цивилизации, живущей на планете с другой силой притяжения. Это приводит нас к формуле потенциальной энергии: Е = гмч.

Теперь перережем нить, на которой мы подвешивали камень массой m на высоте h. Камень падает. Когда он упадет на землю, он выполнит свою работу — это инженерный вопрос, как использовать его для нашей пользы.

Нарисуем график: тело массой m падает вниз (тем, кто упрекает меня в фразе, что оно не может упасть вверх, отвечу, что они правы, и поэтому я написал, что оно было вниз!). Произойдет конфликт маркировок: буква m будет означать и метры, и массу. Но мы разберемся, что когда. Теперь давайте посмотрим на график ниже и прокомментируем его.

Некоторые подумают: это просто хитрые трюки с нумерацией. Но проверим: если тело взлетит со скоростью 50 км/ч, оно достигнет высоты 125 м — то есть в точке, где оно остановится на бесконечно короткий момент, оно будет иметь потенциальную энергию 1250 м , а это тоже мв²/ 2. Если бы мы запускали тело на 40 км/ч, то оно летело бы на 80 м, опять же мв²/ 2. Теперь мы, наверное, не сомневаемся, что это не совпадение. Мы обнаружили один из Законы движения Ньютона! Нужно было только поставить мысленный эксперимент (ой, простите, сначала определить ускорение свободного падения g — по легенде это сделал Галилей, сбрасывая предметы с башни в Пизе, уже тогда кривой) и главное: иметь численный интуиция. Верьте, что добрый Господь Бог создал мир, следуя законам (которые он, возможно, придумал сам). Может быть, он подумал про себя: «О, я издам законы, чтобы они делились на два». Это с половиной, большинство физических констант настолько невероятно странны, что можно заподозрить Создателя в чувстве юмора. Это относится и к математике, но не о ней сегодня.

Около десятка лет назад в Татрах альпинисты призвали на помощь одну из стен Морского Око. Был февраль, холод, короткий день, плохая погода. Спасатели добрались до них только в полдень следующего дня. Альпинисты уже замерзли, голодные, без сил. Спасатель вручил первому из них термос с горячим чаем. «С сахаром?» — спросил альпинист еле слышным голосом. «Да, с сахаром, витаминами и усилителем кровообращения». «Спасибо, я с сахаром не пью!» — ответил альпинист и потерял сознание. Вероятно, похожее, соответствующее чувство юмора проявлял и наш мотоциклист. Но шутка была бы глубже, если бы он вздохнул, скажем так: «ах, если бы не этот квадрат!».

Для того, что говорит формула, соотношение E = mv²/ 2? Что вызывает «квадрат»? В чем особенность «квадратных» отношений? Что, например, удвоение причины вызывает четырехкратное увеличение следствия; троекратно — девятикратно, четверично — шестнадцатикратно. Энергия, которую мы имеем при движении на 20 км/ч, в четыре раза ниже, чем на 40, и в шестнадцать раз меньше, чем на 80! Да и вообще, представьте себе последствия столкновения на скорости 20 км/ч. с последствиями столкновения на скорости 80 км/ч Без каких-либо шаблонов вы можете видеть, что он намного, намного больше. Соотношение эффектов увеличивается прямо по отношению к скорости, и деление на два немного смягчает это.

* * *

Праздники уже позади. Я пишу статьи уже несколько лет. Теперь… у меня нет сил. Пришлось бы написать о реформе образования, в которой тоже есть хорошие стороны, но решение принимали на непредметной основе люди, годные для того, что я для балета (у меня значительный лишний вес и мне за 70 лет).

Впрочем, как бы по долгу службы, сошлюсь на еще одно проявление элементарного невежества среди журналистов. По общему признанию, ничто не сравнится с журналистом из Ольштына, который посвятил большую статью вопросу обмана потребителей производителями. Ну, писал журналист, на пачке сливочного масла была указана жирность в процентах, но не пояснено, на килограмм или на целый куб…

Неточность, написанная журналистом А.Б. (вымышленные инициалы) в Tygodnik Powszechny от 30 июля с.г., более тонкая. Он заявил, что, согласно исследованию CBOS, 48% людей, считающих себя очень религиозными, принимают определенное отношение X (неважно, в чем дело, это не имеет значения), а 41% тех, кто участвует в религиозных практикует несколько раз в неделю поддержку X. Это означает, пишет автор, что более двух пятых наиболее активных католиков не признают X. Я долго пытался выяснить, откуда у автора эти две пятых, и… не понимаю. Формальной ошибки нет, так как действительно, математически говоря, более двух пятых респондентов против X. Просто можно сказать, что более половины (100 — 48 = 52).