Геометрические дорожки и заросли

При написании этой статьи я вспомнил очень старую песню Яна Петшака, которую он пел перед своей сатирической деятельностью в кабаре Pod Egidą, признанной в Польской Народной Республике предохранительным клапаном; можно было честно посмеяться над парадоксами системы. В этой песне автор рекомендовал социалистическое политическое участие, высмеивая тех, кто хочет быть аполитичным, и выключая радио в газете. «Лучше вернуться к школьному чтению», — иронически пел тогда XNUMX-летний Петшак.

Я возвращаюсь к школьному чтению. Перечитываю (уже не в первый раз) книгу Щепана Еленского (1881-1949) «Лылавати». Немногим читателям что-то говорит само слово. Это имя дочери известного индусского математика, известного как Бхаскара (1114-1185), по имени Акария, или мудреца, который озаглавил свою книгу по алгебре этим именем. Позже Лилавати сама стала известным математиком и философом. По другим данным, именно она сама написала книгу.

Точно так же назвал свою книгу по математике Щепан Еленский (первое издание — 1926 г.). Эту книгу, может быть, даже трудно назвать математическим трудом — это был скорее набор головоломок, причем во многом переписанный с французских источников (авторских прав в современном понимании не существовало). Во всяком случае, в течение многих лет это была единственная польская популярная книга по математике — позже к ней была добавлена ​​вторая книга Еленского, «Сладами Пифагора». Так что молодым людям, интересующимся математикой (а именно таким я когда-то был) выбирать было не из чего…

с другой стороны, «Лилавати» нужно было знать почти наизусть… Эх, были времена… Самое большое их преимущество было в том, что я был… подростком тогда. Сегодня, с точки зрения хорошо образованного математика, я смотрю на Лилавати совершенно по-другому — может быть, как альпинист на изгибах тропы в Шпигласову Пшеленч. Ни тот, ни другой не теряют своего очарования… В характерном для него стиле Щепан Еленский, исповедующий в личной жизни так называемую национальные идеи, он пишет в предисловии:

Не касаясь описания национальных особенностей, скажу, что и по прошествии девяноста лет слова Еленского о математике не утратили своей актуальности. Математика учит думать. Это факт. Можем ли мы научить вас думать иначе, проще и красивее? Может быть. Просто… мы все еще не можем. Я объясняю своим ученикам, которые не хотят заниматься математикой, что это также проверка их умственных способностей. Если ты не можешь выучить действительно простую математическую теорию, тогда… может, твои умственные способности хуже, чем нам обоим хотелось бы…?

Знаки на песке

И вот первый рассказ в «Лылавати» — рассказ, описанный французским философом Жозефом де Местром (1753-1821).

Моряка с потерпевшего крушение корабля выбросило волнами на пустой берег, который он считал необитаемым. Внезапно в прибрежном песке он увидел след нарисованной перед кем-то геометрической фигуры. Тут-то он и понял, что остров не безлюдный!

Цитируя де Местри, Еленский пишет: геометрическая фигурабыло бы немым выражением для несчастного, потерпевшего кораблекрушение, совпадение, но он показал ему с первого взгляда пропорцию и число, и это возвестило человека просвещенного». Так много для истории.

Заметьте, такую ​​же реакцию вызовет моряк, например, нарисовав букву К,… и любые другие следы присутствия человека. Здесь идеализирована геометрия.

Тем не менее, астроном Камиль Фламмарион (1847-1925) предложил, чтобы цивилизации приветствовали друг друга на расстоянии с помощью геометрии. Он видел в этом единственно правильную и возможную попытку общения. Покажем таким марсианам пифагорейские треугольники… они ответят нам Фалесом, мы им ответим узорами Виета, у них круг в треугольник впишется, вот и завязалась дружба…

К этой идее вернулись такие писатели, как Жюль Верн и Станислав Лем. А в 1972 году плитки с геометрическими (и не только) рисунками были размещены на борту зонда «Пионер», который до сих пор пересекает просторы космоса, теперь уже почти в 140 астрономических единицах от нас (1 I — среднее расстояние Земли от Земли). Солнца, т. е. около 149 млн км). Плитка была разработана, в частности, астроном Фрэнк Дрейк, создатель спорного правила о количестве внеземных цивилизаций.

С геометрией вообще изумительно. Всем нам известна общая точка зрения на происхождение этой науки. Мы (мы, люди) только начали измерять землю (а затем и землю) в самых утилитарных целях. Определение расстояний, рисование прямых линий, разметка прямых углов и расчет объемов постепенно становились необходимостью. Отсюда и все дело геометрия («Измерение земли»), отсюда и вся математика…

Однако на какое-то время эта ясная картина истории науки затуманила нас. Ибо если бы математика была нужна исключительно для оперативных целей, мы не занимались бы доказательством простых теорем. «Вы видите, что это вообще должно быть верно», — скажет каждый, проверив, что в нескольких прямоугольных треугольниках сумма квадратов гипотенуз равна квадрату гипотенузы. Почему такой формализм?

Пирог со сливами должен быть вкусным, компьютерная программа должна работать, машина должна работать. Если я тридцать раз посчитал вместимость бочки и все в порядке, то зачем еще?

Тем временем древним грекам пришло в голову, что необходимо найти какие-то формальные доказательства.

Итак, математика начинается с Фалеса (625-547 до н.э.). Предполагается, что именно Милет начал задаваться вопросом, почему. Умным людям мало того, что они что-то видели, что они в чем-то убеждены. Они видели необходимость доказательства, логической последовательности аргументов от предположения к тезису.

Они также хотели большего. Вероятно, именно Фалес первым попытался объяснить физические явления натуралистическим путем, без божественного вмешательства. Европейская философия началась с философии природы — с того, что уже стоит за физикой (отсюда и название: метафизика). Но основы европейской онтологии и натурфилософии заложили пифагорейцы (Пифагор, ок. 580- ок. 500 до н. э.).

Он основал собственную школу в Кротоне на юге Апеннинского полуострова — сегодня мы бы назвали ее сектой. Наука (в нынешнем смысле этого слова), мистицизм, религия и фантазия — все это тесно переплелось. Томас Манн очень красиво представил уроки математики в немецкой гимназии в романе «Доктор Фаустус». В переводе Марии Курецкой и Витольда Вирпши этот фрагмент гласит:

В интересной книге Чарльза ван Дорена «История знаний от зари истории до наших дней» я нашел очень интересную точку зрения. В одной из глав автор описывает значение пифагорейской школы. Само название главы меня поразило. Он гласит: «Изобретение математики: пифагорейцы».

Мы часто обсуждаем, открываются ли математические теории (например, неизвестные земли) или изобретаются (например, машины, которых раньше не существовало). Некоторые творческие математики считают себя исследователями, другие — изобретателями или конструкторами, реже счетчиками.

Но автор указанной книги пишет об изобретении математики в целом.

От преувеличения к заблуждению

После этой длинной вводной части я перейду к самому началу геометрия, чтобы описать, как чрезмерная вера в геометрию может ввести ученого в заблуждение. Иоганн Кеплер известен в физике и астрономии как первооткрыватель трех законов движения небесных тел. Во-первых, каждая планета Солнечной системы движется вокруг Солнца по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце. Во-вторых, через равные промежутки ведущий луч планеты, проведенный от Солнца, прочерчивает равные поля. В-третьих, отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к кубу большой полуоси ее орбиты (т. е. среднему расстоянию от Солнца) постоянно для всех планет Солнечной системы.

Возможно, это был третий закон — для его установления требовалось много данных и вычислений, что побудило Кеплера продолжить поиск закономерности в движении и положении планет. История его нового «открытия» весьма поучительна. С древности мы восхищаемся не только правильными многогранниками, но и рассуждениями, показывающими, что в пространстве их всего пять. Трехмерный многогранник называется правильным, если его грани являются одинаковыми правильными многоугольниками и каждая вершина имеет одинаковое количество ребер. Иллюстративно: каждый угол правильного многогранника должен «выглядеть одинаково». Самый известный многогранник – куб. Все видели обычную лодыжку.

Правильный тетраэдр менее известен, и в школе его называют правильной треугольной пирамидой. Похоже на пирамиду. Остальные три правильных многогранника менее известны. Октаэдр образуется, когда мы соединяем центры ребер куба. Додекаэдр и икосаэдр уже выглядят как шары. Сделанные из мягкой кожи, ими было бы удобно копать. Рассуждение о том, что не существует правильных многогранников, кроме пяти Платоновых тел, очень хорошо. Во-первых, осознаем, что если тело правильное, то в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество (пусть q) одинаковых правильных многоугольников, пусть это будут p-углы. Теперь нам нужно вспомнить, каков угол в правильном многоугольнике. Если кто не помнит со школы, напоминаем, как найти нужную выкройку. Мы отправились в путешествие за угол. В каждой вершине мы поворачиваемся на один и тот же угол а. Когда мы обходим многоугольник и возвращаемся в исходную точку, мы сделали р таких поворотов, и всего мы повернулись на 360 градусов.

Но α является дополнением на 180 градусов к углу, который мы хотим вычислить, и, следовательно, равен

Мы нашли формулу угла (математик сказал бы: меры угла) правильного многоугольника. Проверим: в треугольнике p = 3, нет a

Вот так. Когда p = 4 (квадрат), то

градусов и тоже нормально.

Что мы получаем за пятиугольник? Так что же происходит, когда q многоугольников, каждый из которых p имеет одинаковые углы

 градусов, спускается в одной вершине? Если бы он был на плоскости, то образовался бы угол

градусов и не может быть больше 360 градусов — потому что тогда полигоны перекрываются.

Однако, поскольку эти многоугольники встречаются в пространстве, угол должен быть меньше полного угла.

А вот неравенство, из которого все это вытекает:

Разделим его на 180, обе части умножим на p, закажем (p-2) (q-2) < 4. Из чего следует? Давайте осознаем, что p и q должны быть натуральными числами и что p > 2 (почему? И что такое p?), а также q > 2. Существует не так уж много возможностей сделать произведение двух натуральных чисел меньше 4. Мы перечислим их все в таблице 1.

Чертежи не выкладываю, эти фигуры каждый может увидеть в Интернете… В Интернете… Не откажусь от лирического отступления — возможно, интересно для юных читателей. В 1970 году я выступал на семинаре. Тема была сложной. У меня было мало времени на подготовку, я сидел по вечерам. Основная статья была доступна только для чтения на месте. Место было уютное, с рабочей атмосферой, ну и закрывалось в семь. Потом невеста (теперь уже жена) сама предложила переписать мне всю статью: страниц с десяток печатного. Переписала (нет, не гусиным пером, у нас даже были ручки), лекция удалась. Сегодня пытался найти эту публикацию, которая уже старая. Запомнил только имя автора… Поиски в интернете длились долго… целых пятнадцать минут. Я думаю об этом с ухмылкой и легким неоправданным сожалением.

Мы возвращаемся к Keplera i geometrii. Судя по всему, Платон предсказал существование пятой правильной формы потому, что ему не хватало чего-то объединяющего, охватывающего весь мир. Возможно, именно поэтому он поручил ученику (Теаджтету) искать ее. Как было, так и было, на основании чего был открыт додекаэдр. Мы называем это отношение Платона пантеизмом. Все ученые, вплоть до Ньютона, в большей или меньшей степени поддались ему. Начиная с весьма рационального восемнадцатого века, его влияние радикально уменьшилось, хотя не следует стыдиться того, что все мы в той или иной мере поддаемся ему.

В кеплеровской концепции построения Солнечной системы все было правильно, экспериментальные данные совпадали с теорией, теория была логически стройна, очень красива… но совершенно ложна. В его время было известно всего шесть планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн. Почему планет всего шесть? — спросил Кеплер. И какая закономерность определяет их расстояние от Солнца? Он предполагал, что все связано, что геометрия и космогония тесно связаны друг с другом. Из сочинений древних греков он знал, что правильных многогранников всего пять. Он увидел, что между шестью орбитами было пять пустот. Так может быть, каждому из этих свободных пространств соответствует какой-то правильный многогранник?

После нескольких лет наблюдений и теоретических работ он создал следующую теорию, с помощью которой довольно точно рассчитал размеры орбит, которую представил в книге «Mysterium Cosmographicum», изданной в 1596 г.: Представьте себе гигантскую сферу, диаметр которой диаметр орбиты Меркурия в его годовом движении вокруг Солнца. Затем представьте, что на этой сфере есть правильный октаэдр, на ней сфера, на ней икосаэдр, на ней снова сфера, на ней додекаэдр, на ней еще одна сфера, на ней тетраэдр, затем снова сфера, куб и, наконец, на этом кубе описан шар.

Кеплер пришел к выводу, что диаметры этих последовательных сфер являются диаметрами орбит других планет: Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна. Теория показалась очень точной. К сожалению — это совпало с экспериментальными данными. А что может быть лучшим свидетельством правильности математической теории, чем ее соответствие экспериментальным данным или данным наблюдений, особенно «взятых с небес»? Я суммирую эти расчеты в Таблице 2. Так что же сделал Кеплер? Пробовал, пробовал, пока не вышло, то есть когда конфигурация (порядок сфер) и полученные расчеты совпадали с данными наблюдений. Вот современные цифры Кеплера и расчеты:

Можно поддаться очарованию теории и поверить, что неточны измерения в небе, а не счета, сделанные в тишине мастерской. К сожалению, сегодня мы знаем, что существует по меньшей мере девять планет и что все совпадения результатов — лишь совпадение. Жалость. Это было так красиво…