Фигурка хиральная

Праздники закончились, в этом году уникально. Было ли у нас время на прогулки, на походы? Раз-два, раз-два, влево-вправо, влево-вправо. Такие равномерные марши напоминают нам о внешней симметрии нашего тела. Обувь с левой ноги на правую не надеваем, перчатка на правой руке не подходит к левой, а если гайку можно закрутить правосторонним винтом, то левосторонней она не может. Мы называем такие объекты «хиральными».

Чтобы латинскую букву L превратить в греческую «гамму» Γ, нужно «вынуть» ее из плоскости и отразить в зеркале. Аналогично с Р и русским Я (буква «И»). Это: те, которые не идентичны своему зеркальному отражению. Итак, вы уже знаете, читатель, что ваши ноги хиральны! Ваша правая рука в зеркале выглядит как левая, и если вы порежетесь, бреясь с левой стороны (версия для читателей: вы уже накрасили правую бровь, а левая еще ждет) — зеркало покажет ее другой наоборот. Я читал несколько рассказов, в которых космонавт после многих-многих лет межзвездных путешествий возвращается на Землю «вывернутым наизнанку» — то есть как родной. Ему кажется, что на Земле все изменилось: мы пишем странными буквами и англичане наконец-то стали водить нормально, правильно.

Мы считаем, что жизнь должна быть на основе хиральных молекул — иначе мы не смогли бы отличить левую сторону от правой. Мы также не знаем, почему жизнь всегда выбирает только одну из двух возможностей. Аминокислоты, из которых состоят белки, являются левосторонними, а сахара в нашей ДНК — правосторонними. Разве мы не могли бы жить гармонично с обратно закрученными существами (например, с левшами от природы?) Теоретически можно предположить, что это было бы возможно для «левых» сахаров и «правильных» аминокислот, и тем не менее такие формы жизни не существует. Вопрос «почему» выходит за рамки науки? Станислав Лем интересно использовал эту жизнь. В путешествии номер 8 Ийон Тичи является делегатом землян на Конгрессе Организации Объединенных Планет. В критический момент представитель Эриданской делегации (т.е. из Эридании) не оставляет на человечестве сухой нитки, показывая, что мы пришли из левого ложа — наш Творец смешал аминокислоты в левом боку. К счастью, оказывается, что это был всего лишь сон главного героя (точнее, рассказчика) повести.

Таким образом, симметрия, хиральность и регулярность являются основой построения мира. Пожалуй, следует сказать иначе: это основа нашего понимания мира. Так называемый «хаос» также чаще всего является результатом навязывания закономерных процессов: перетасовки карт, замешивания теста, неумолимых, строгих законов, управляющих непредсказуемыми событиями. Математика говорит: если вы подбросите монету 100000 50000 раз, вы не обязательно получите 50000 99 раз орла, 1000 XNUMX раз орла, но у вас есть XNUMX% шанс, что разница между количеством орла и решки будет не более XNUMX, или один процент от количества бросков. Объясняется это известной со школы диаграммой Бернулли. Но не об этом я хотел сегодня написать, а о простых симметриях.

Хотя я считаю, что 90% новостей в Интернете представляют собой либо предвзятые фактические статьи, возможно, интересующие меня новости относятся к оставшимся 10 процентам. Речь идет о проектах по использованию некой редкой кристаллической решетки для создания солнечных батарей. Может быть, это правда.

Несколько лет назад я получил подарок от друга-математика. кристалл флюорита — КаФ₂. Математически это правильный октаэдр. Центры граней куба образуют такое тело. Это математическое свойство «позволяет» природе создавать кристаллы именно такой формы. Есть 229 других вариантов решетки. Точнее: математика объясняет, что существует «всего» 230 возможных типов кристаллических решеток (217, если считать хиральные одинаковыми). Таких сеток в двух измерениях всего 17. Столько может быть настенных украшений с орнаментом на основе повторяющегося узора. Подчеркну, что мы не судим о красоте таких украшений и как бы не всегда замечаем интересное нарушение симметрии. Мы просто смотрим сквозь стекло и глазами математика.

А так как, замечу, что в четырехмерном пространстве таких возможностей 4894, в пятимерном — 222097, в шестимерном — … более чем в сто раз больше. Ах, сколько было бы кристаллов, если бы добрый Господь Бог сотворил наш мир шестимерным… Но хлопот было бы больше, чем мы себе представляем. Это тема для другой статьи — давайте останемся в нашем третьем измерении. Уже древние греки пропагандировали умеренность. Но даже в размерности 4, если бы я захотел перечислить все сети, 10 в одном сегменте моего математического уголка, у меня была бы тема на… 40 лет. Ну, а после третьей серии уже никто не захочет читать…

Так что ради подстраховки ограничусь фризами. Да, для этого. Аналогичный термин в технике резца имеет несколько иное значение — хотя некоторое сходство есть. Википедия поясняет, что фриз происходит от итальянского и является «промежуточным, горизонтальным элементом антаблемента, обычно расположенным между архитравом и карнизом; вообще — каждая горизонтальная декоративная полоса». Последнее слагаемое важно для математика. Это, однако, необходимо сделать более конкретным. Во фризах есть некий базовый рисунок, который двигается (теоретически бесконечно влево-вправо), как бы АААААААА, ЭЭЭЭЭЭЭЭ, ФФФФФФФФ, ОООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО“” В предвкушении того, что делать, я задам вам следующий вопрос: А что с остальными письмами? Остальная часть текста объяснит, о чем идет речь.

3. Симметрия со скольжением

О да, это так. Мы идем гулять. Иногда левая нога впереди, иногда правая. В романе Жюля Верна «Восемьдесят дней вокруг света», несколько раз переделанном в очаровательные фильмы, педант Филеас Фогг отправляется в свой клуб «Реформа», ставя левую ногу 1950 раз впереди правой и 1951 раз наоборот — так:

С математической точки зрения аналогичные попеременные движения совершают лыжники и пара гребцов на каноэ: один с левым веслом, а его напарник — с правым. Давайте еще раз посмотрим на этот рисунок наших ног на мокром песке. Имеем ли мы математически говоря симметричную фигуру? Нет. Для достижения симметрии (осевой, продольной) нам пришлось бы прыгать в обе стороны (см. далее рис. 9). Такая картина, как на рисунках 2, 3 и 4, имеет так называемую симметрию со скольжением, то есть со смещением. Лыжник выполняет симметричные, чередующиеся движения — но между одним и другим он уже продвинулся на два-три метра.

4. Симметрия со скольжением. Первая дуга слева — фрагмент графика функции 

Как видите, я имею в виду спорт. Какой самый красивый вид спорта? У меня нет сомнений — это гребная восьмерка. Посмотрим на мой (рис. 5). Какой орнамент имеет то же математическое содержание, что и походка («одна нога впереди, потом другая»)? Догадаться может быть непросто, но наверняка все согласятся – это пятый маршрут слева. Видит ли каждый из Читателей, что пятая дорожка — это «стоп-кадр» такой восьмерки, гребущей к финишу на краю доски? Вы даже можете увидеть рулевого, верно?

5. Семь фризов. Слева направо: 1. Сдвиг (перенос), 2. Сдвиг и поперечная симметрия, 3. Сдвиг и продольная симметрия, 4. Сдвиг и вращение, 5. Сдвиг и симметрия со скольжением, 6. Поперечная симметрия и вращение (без продольной симметрии) , 7. Перемещение и обе симметрии

Давайте посмотрим на другие дисциплины в этой головоломке. Первая слева — каноэ. Он гребет одним веслом с одной стороны, неудобно стоя на одном колене. Он движется «вперед», правильно балансируя тело. Он формирует простейший фриз — только на основе сдвига, без каких-либо симметрий (рис. 6).

7. Прыжок вперед на одной ноге

Как описать вторую строку в головоломке на рис.5? Я мог думать только о пароме или очень старом пароходе с ведущим колесом на одном борту. Третий паттерн может описывать движения пловца-бабочки (дельфина, профессионально) или пловца-двойника в гребле. Четвертая – обычная двойка, гребная или канадская. У нас в ней два хиральных игрока — в моей головоломке тот, что на носу тянет правым веслом, а тот, что на следе, — левым. В шесть часов я вижу самолет. Я живу под воздушным коридором, ведущим из аэропорта Окенце. Я вижу, как поднимающиеся самолеты мигают поочередно огнями левого и правого крыльев. Седьмое украшение отличается от четвертого тем, что внутри находятся желтые кирпичи. Видим ли мы там летящую птицу?

8. Большая хохлатая поганка (фото Антонины Залевской)

Попрыгаем еще на двух ногах. Можно идти вперед или в сторону:

Этот фриз имеет одну продольную симметрию — то есть относительно оси, определяющей направление движения. Этот на рисунок 10 он симметричен относительно оси, перпендикулярной направлению движения.

9,10. В математическом боковом прыжке нет ничего плохого. Наоборот – получается красивый фриз (рис. 11).

Существуют также вращательные симметрии. Перевернем текст «вверх ногами» — рисунок останется прежним: вверху попеременно красные и синие шишки, внизу свисают гирлянды, также попеременно красные и синие.

12. Фриз с вращательной симметрией

Подведем итоги. Нетрудно доказать, что других фризов нет. Подчеркну — с математической точки зрения. Список можно увидеть на рисунок 13.

13. Таблица возможных фризов

Важная заметка. Статья была кратким изложением лекции, которую я прочитал для студентов Польской академии наук в Академии прикладной информатики и управления. что я смог передать здесь. Я оставил простые математические доказательства позади. Я также не буду учить студентов «настоящей» кристаллографии — это не по профилю Школы. Но поездка таким образом пойдет всем на пользу.