Деление «пополам»
Тема разбиения на 2 уже обсуждалась, но она требует более детального изучения. Читатели могут удивиться: есть о чем писать? Делим и все.
Возникла проблема с раздачей. В Средние века письменный способ деления был настолько сложен, что его называли «галерным способом». Сегодня в начальном образовании педагоги обращают внимание на два типа обмена. Это «деление на» а также «Поделить на» (Читайте также о), иначе называемом дивизия за дивизией i деление по сдерживанию. Если мне нужно раздать 391 карточку 23 ученикам, я могу сначала вычислить, сколько карточек я дам каждому из них. Делаю соответствующее деление: 391:23=17 и даю каждому из них по 17 листов. Однако это можно сделать и без всяких расчетов. Я хожу по классу и даю каждому по одному листу, затем даю друг другу другой и так далее. Таким образом, мне не нужно знать, сколько учеников и сколько страниц я даю. Если на самом деле студентам дают на экзамене несколько отдельных листов, то первый менее справедлив: те, кто сидит в конце, получают все позже, чем те, кто в начале.
Определенные математические (или, по крайней мере, логические) проблемы возникают, когда мы хотим сохранить баланс и честность в разных играх. Как известно, когда в футбольном матче ничья, и надо выбрать победителя, то дается дополнительное время и если это не приносит расчет, то игроки пробивают пенальти с одиннадцати метров (по сути, это уже не штрафы, потому что они не продиктованы как наказание, но давайте не будем об этом беспокоиться.) После розыгрыша порядка «одиннадцати» ситуация асимметрична: у тех, кто стреляет первым, психологическое преимущество. В теннисе более справедливо: первый игрок подает один раз, затем каждый игрок подает дважды.
Когда я пишу об этом, я вспоминаю удивительный алгоритм, который мы (подростки) использовали давным-давно, когда нам нужно было разделиться на две команды. Сначала были выбраны два капитана (путем аккламации), и они случайным образом выбрали, кто начнет отбор игроков. Первый указывал на игрока, а второй решал, в какую команду он переходит — потом второй выбирал, а первый назначал. Это было «ужасно психологично» — если первый выберет лучшего Котёнка на заднем дворе (настоящее прозвище), то второй сразу его возьмёт, а если худший, то поставит в первую команду.
Вот вам и деление на две части, на два класса. Плохо, когда мы видим в жизни все черно-белым… В настоящее время люди говорят «ноль-единица». Так сказал один из наших бывших президентов («Я вижу ноль-один») в определенной ситуации и из контекста было видно, что он понимает, о чем идет речь, что нечасто бывает у политиков. Но вернемся к математике.
Линии справедливости
Два квадрата или два круга можно разделить пополам одной линией. Достаточно соединить центры, а если быть точнее, то линия, пересекающая обе фигуры, есть прямая, проходящая через их центры. С треугольниками сложнее. У равностороннего треугольника есть центр, но не всякая прямая, проходящая через центр, делит треугольник пополам. Ибо «центр» треугольника не является его центром симметрии.
О таких простых вопросах я уже писал ранее. Стоит отметить определенное приложение. Копирую из первой польской книги по популярной математике — «Лилавати» (первое издание 1928 г.) Щепана Еленского:
Нетрудно видеть, что каждую область можно разделить прямым разрезом на две равные по площади части.
На рис.1 мы видим неравномерную область. Пробуем разделить его на две равные части — то есть равные по площади. Сдвиньте прямую линию, например, слева направо — в определенном положении поля «лево» и «право» станут равными. Мы не сомневаемся, что так оно и будет. Если утром был мороз, а к полудню оттепель, то в какой-то момент на термометре должен был быть ноль градусов, верно?
Здесь мы используем важное математическое или, скорее, философское понятие: непрерывность. Мы представляем, как время течет, как река в непрерывном потоке, а не как в некоторых часах (раньше часто встречавшихся на вокзалах), где минутная стрелка двигалась как на дрожжах каждую минуту. В физических теориях микромира допустима концепция скачкообразного изменения времени. Однако мы не можем представить это человеческим разумом: что происходит, когда время не проходит какое-то время?
Непрерывными являются, согласно нашему воображению, длина, а значит, высота и ширина. Здесь мы уже знаем, что это неправда, потому что все мы состоим из атомов. Но атомы так малы, а наш разум так привык к непрерывности, что мы можем легко понять, что может быть расстояние, скажем, пять метров. То есть это примерно 3,14 м, в лучшем приближении 3,1415926, а «точно» это никак не выразить. Бесконечность нас совершенно не пугает.
Вернемся к основной теме: делению на два. Рассуждение, которое я описал, может быть использовано, когда два наследника желают справедливо разделить унаследованное поле. «Ярмарка» означает нечто иное, чем «равно поле» — потому что, может быть, западная часть более привлекательна, чем восточная.
Тогда восточная часть может (и даже должна) быть больше, чтобы уравновесить преимущества западной части. Для этого не нужно проводить сложную экспертную оценку. Первый наследник просто рисует предложенную разделительную линию на карте. Конечно, он направит его так, чтобы субъективная ценность его частей составляла по крайней мере половину ценности целого. Если другой думает, что другой взял слишком много, он продвигает линию. Первый может исправить это снова. Разбирательство продолжается до тех пор, пока они оба не согласятся с окончательным ходом границы.
Этот метод работает очень хорошо, если ни в одной части нет ничего неделимого (дом, родник, особенно красивый дуб). Тогда… вы должны использовать другой метод. Почти всегда все можно превратить в деньги. Да, конечно, «почти» имеет значение. Однако, к счастью, не все можно выразить в денежных единицах. Но эта статья — не философский трактат о счастье.
Прямые линии на рис. 1 могут вести в любом направлении. Так: для каждой плоской области и для каждого направления есть прямая линия, разделяющая эту область на две равные области. Это простая и интересная теорема. Мы бессознательно пользуемся передовым аппаратом математического анализа (так называемым теорема Больцано: каждая непрерывная функция на компакте принимает все значения между своим максимумом и минимумом). Можно сказать иначе: сплошные линии не могут проникать друг в друга, не имея общих точек. Интересным применением этого принципа является решение следующей задачи:
На далеком диком западе Соединенных Штатов между Kentucky Raw Chicken и Chickenburger ходит один поезд. Однажды он начинается в 8 утра от KRC и в 8 вечера в Чикенбургере. Он едет обратно на следующий день. Он имеет переменную скорость, поскольку его маршрут проходит через горы и низменности. Пожалуйста, продемонстрируйте, что есть точка, где поезд всегда в то же время, что и накануне.
Решение оказывается очень простым. Представьте, что линия расширена до двухпутной, и поезд ходит каждый день. Один поезд идет в одном направлении и отправляется обратно на следующий день. В какой-то момент он пропускает второй отряд.
Эта задача пришла мне в голову, когда я собирался в поездку в Болгарию на поезде в студенческие годы. Я прикинул, где в Румынии мы опоздаем на обратный поезд. Я стоял в коридоре и смотрел. В один короткий миг долгожданный объект просто промелькнул за окном! Ведь у нас была относительная скорость свыше 200 км/ч. Тем не менее я узнал, что это польский «двойной» поезд. Возвращались загорелые отдыхающие, выброшенные на берег Черным морем.
О математике с бутербродами
А разделить на четыре? Круг и квадрат легко. Юные читатели наверняка умело делят пиццу на равные куски — если любителей пятеро, то круглую поделить легче, чем квадратную, не так ли?
Требовать. Любую площадь можно разделить на четыре части с равными площадями двумя перпендикулярными линиями.
Вот доказательство. Это хорошее рассуждение. Для каждого направления выберем линию, покрывающую площадь. Пусть угол между этим направлением и осью х будет равен а.Тогда разделим площадь пополам линией, перпендикулярной предыдущей. Нет никакой гарантии, что четыре равные четверти (2).
Мы знаем только это и. Однако это не значит, что это может быть, например: ,,,. Рассмотрим функцию, которая присваивает разность углу а. Если эта функция не обнуляется на концах диапазона [0, 90°], то она имеет противоположные знаки на обоих концах — значит, где-то должен быть ноль. Тогда и, следовательно.
Это интересное рассуждение и экзистенциальная теорема: мы знаем, что такое положение есть, но не знаем, как его найти. Но уверены ли мы, что не можем? Меняем угол и наблюдаем разницу. Когда он равен нулю, мы говорим «стоп». Это наше решение, наша точка равновесия.
Теперь возьмем две области (3). Всегда есть одна прямая линия, разделяющая их на две равные части. Рассуждения очень похожи. Для каждого направления мы устанавливаем линию, охватывающую каждую из этих областей. Аккуратно меняем направление, в какой-то момент прямые сойдутся.
Интересно, что первооткрыватели подобной теоремы в размерности 3 назвали ее теорема о бутербродах. Копирую формулировку из известной книги Гуго Штейнгауза (1887-1972, математик из Львова, а затем из Вроцлава) «Математический калейдоскоп» (первое издание 1938 г.): кусок хлеба с маслом и ветчины всегда можно отрезать плоский разрез, чтобы разделить пополам булку, масло и ветчину.
Они были первооткрывателями этого факта Стефан Банах i Хьюго Штайнхаус, примерно в 1933 году. Потом то же самое открыли американские математики Артур Х. Стоун i Джон Тьюки в 1942 году, когда у польских ученых были другие беды на голове… Произошло то, что часто бывает: теорема названа не именем первооткрывателя, а именем человека, популяризировавшего ее. В нем вообще нет злобы, а орать на то, что надо.
Вот отступление о. В основном это делается по методу «проблема-решение». Преподаватель ставит конкретную задачу, ученик решает ее, используя изученный метод. Я всегда мечтаю о другом. Мы не даем задачу, а только общую проблему и предлагаем метод.
Вот пример: Следуйте рассуждениям для проблемы сэндвича (в случае квартиры это часто называют теоремой о блинах). Найдите три плоские области, которые нельзя разделить пополам одной линией (т. е. все три). Следуя другим рассуждениям, покажите, что для трех площадей всегда существует окружность, покрывающая их все (4).
Путем «умножения» сферы
Самым удивительным делением на «две равные части» является так называемое парадоксальное разложение сферы. А именно, в 1924 году Стефан Банах и Альфред Тарский они обнаружили то, что невозможно понять с первого взгляда. Хорошо обычный шар в трехмерном пространстве можно разделить на две части, из которых можно собрать… два таких же шара.
Я обливаю холодной водой читателей, которые бегут в банк, чтобы купить немного золота, скатать его в шарик и удвоить свое состояние (а затем время от времени удваивать его). Останавливаться! Я же написал, что это «обычный» шар. Да, но это математическая сфера, а не физическая сфера. Во-вторых, разделение есть, но оно не может быть реализовано. Это тоже может быть загадкой: оно существует, но не может быть сделано.
Все рассуждения пронизаны математическими трудностями, но можно достаточно ясно описать не менее удивительную конструкцию. А именно: рассмотрим прямую и отрезок на ней. Мы можем разделить этот отрезок на такие непересекающиеся части (то есть не имеющие общих точек), что, перемещая их, мы сможем покрыть всю прямую. Элементарная интуиция подсказывает нам, что это невозможно: отрезок имеет, скажем, некоторую длину, и поэтому его части не могут быть покрыты более чем а. Отрезок длиной а + 1 не может быть покрыт.
А пока… Но об этом в следующей статье.
