Силой или путем?

Именно под этим названием Ассоциация математического образования организовала очередную конференцию, посвященную преподаванию математики в нашей стране. На протяжении нескольких лет уровень выпускников школ планомерно снижается. Это явление наблюдают все академические педагоги. Я говорю не только о команде новостей, но и о качестве того, что умеют делать первокурсники. В сложившейся ситуации виноваты не учителя (Министерство народного просвещения уже много лет обещает остановить эту тенденцию). Так кто виноват? На это у меня есть простой (слишком простой?) ответ: XNUMX век.

Во время международного исследования польские студенты хорошо справляются с алгоритмическими задачами: «посмотри на грязные штаны и выбери правильную программу стирки». Хуже в принципиально творческих задачах. Почти все экзамены теперь полагаются на то, что ученик (студент) покажет, чему он научился в школе и дома.

Все спросят — а как же иначе? Ведь это же какой к черту экзамен! Проверка того, чему научился адепт. Ну… просто нет, вернее: так быть не должно! Разницу легко понять на примере из спорта. Экзаменом для футболиста является не то, чему он научился на тренировке, а то, как он преподнесет то, чему научился в матче. Относительно математики: я, учитель, предполагаю, что ты, ученик, знаешь, чему я тебя учил. Так покажи, как ты будешь применять эти знания!

Поколения преподавателей математики задавались вопросом: следует ли нам учить в школе мышление или алгоритмы? Всегда был один ответ: думать. Практика тоже: в школе алгоритмы всегда учили и учат до сих пор.

Задачи, идеи, методы

Этой мудрости достаточно; Давайте посмотрим на проблемы, которые гораздо проще решить, когда мы применяем определенную идею — иногда небольшую, иногда совершенно головокружительную. Эти задачи исходят из чтений коллег во время конференции. Я не привожу имена этих коллег — примеры общеизвестны. Позвольте мне начать с моего любимого раздела школьной математики: уравнения и квадратичные функции.

Задача. Решите квадратное уравнение относительно x²+ 4х-21 = 0. Найдите минимум квадратичной функции слева.

В Европе эту проблему решают заменой на соответствующие формулы. В США каждый раз дети (ну потому что они дети) сводят их к чему-то, что у нас называется канонической цифрой:x²+4x-21=(x+2)²-25, а значит уже понятно чего мы хотим. Вам нужно только подумать на мгновение. Почему наименьшее значение выражения -25? Ну, потому что значение х + 2 в квадрате всегда положительно… За одним исключением: при х = -2 оно принимает значение ноль… а ноль не положителен!

Следующая задача имеет некоторую историю. Я получил их на вступительных экзаменах в Варшавский университет. Когда это было? Ну, давным-давно — собираясь на экзамен, я встретил динозавра в Краковском предместье… Задача была проста: «решить уравнение sin x + cos x = 2».

«А, это просто, — подумал я. Я собираюсь преобразовать синус в косинус, использовать правильную формулу… и что-то получится». Однако через некоторое время я понял, что задача тривиальна. И значение синуса, и косинуса никогда не превышают числа 1, а отсюда следует, что для того, чтобы сумма была равна 2, и синус, и косинус должны принимать значение 1, что невозможно, ибо мы помним о «тригонометрической XNUMX» : без² х+кос² х = 1 Однако через некоторое время я забеспокоился. «Приемлемо ли это решение, уместно или даже разрешено использовать такие уловки?» Я сидел неуверенный и на всякий случай решил задачу как обычно. У нас есть:

sin x+cos x=sin x+sin (90°-x)= 2 sin 45° cos (x-45°)= √2 cos (x-45°)≤√2, поэтому наибольшее значение суммы синуса и косинуса (одного и того же угла) равно √2!

Обратите внимание, что первое решение дал результат быстрееа второе, «силовое» решение, дал больше: я вычислил наибольшее значение заданной функции и показал, что функция в основном представляет собой «обыкновенный косинус», но сдвинутый и умноженный на √2.

Когда я сам работал учителем через дюжину или около того лет, я дал это задание старшеклассникам. В те времена уже преподавали исчисление. У студентов не было сомнений: продифференцируй, сравни с нулем… и что дальше? Точно! Они придумали уравнение sin x = cos x, которое не смогли решить (!) потому что в наборе не было типовых тригонометрических уравнений.

Я помню своего друга со школьной скамьи Кшиштофа. В политехникум он не попал, поэтому его призвали в армию — таковы были тогда правила: учеба или армия. Он был освобожден через шесть месяцев по состоянию здоровья. Он решил снова попробовать себя в Политехникуме; Я тренировал его. Целый месяц я гонялся за ним с уравнением sin x + cos x = 2. Сам он ее не решал. Хуже того, он просто не понял «моего» решения. В то время я не понимал того, чего не понимал он. Теперь я вижу: алгоритмическое обучение («не пытайся понять, для чего тебе это нужно, просто ищи формулу, под которую можно было бы подставить данные!») — не изобретение сегодняшнего дня…

К чему это может привести, рассказал в лекции один из участников конференции. В олимпиаде по математике для младших школьников было дано задание: «Сколько будет 64:4». Комиссия не приняла решение одного студента, написавшего: «64:2=32, 32:2=16, следовательно, 64:4=16». Идея заключалась в том, чтобы представить письменный алгоритм деления. Конечно, комиссия допустила ошибку — но мы часто сталкиваемся с подобным явлением, с подобной дилеммой. Что ценнее: гениальное, но применимое решение или более уродливое, но более общее решение?

Среди учителей также существуют разногласия относительно применимости тех или иных методов. Вот типичный, очень известный пример.

Задание 3. Докажите, что любой тетраэдр должен иметь такую ​​стенку, что проекция его центра тяжести на плоскость стенки находится внутри или на краю стенки.

Один из участников олимпиады по математике (потому что это была задача) написал: «Если бы это было не так, то этот тетраэдр бесконечно падал бы, когда его ставили на стол, а это, как учит физика, невозможно».

лично мне очень нравится идея показать, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Я сознательно употребил слово «демонстрация», а не «доказательство». Доказательство в математическом смысле состоит в выведении данной теоремы из аксиом или других известных теорем посредством дедукции. Каждый шаг должен быть логически обоснован. Другие рассуждения, хотя и достаточные для суждения, не являются математическим доказательством.

Пусть вершины треугольника ABC включают поворотные круги для локомотивов. Локомотив выезжает из A в направлении B. В точке B поворачиваем его на угол B, т. е. на угол при вершине B. Локомотив бежит назад по участку BC. В точке C мы поворачиваем его на угол C. Он достигает A, двигаясь вперед. Для того, чтобы он был готов к путешествию в В, мы повернем его в точке А на угол А. Таким образом, он будет направлен в сторону от В, т.е. повернут на 180 градусов от своего начального положения. Но он был повернут трижды: на угол B, затем на угол C и, наконец, на угол A. Значит, сумма углов A + B + C равна 180 градусам. Я всегда был сторонником заданий на поезд…

У нас есть интересная идея в доказательстве одной из первых теорем проективной геометрии, которая была сформулирована и доказана в XNUMX веке французский математик Жерар Дезарг. Это пример теоремы, которая не зависит от исходной системы аксиом геометрии, данной Евклидом, то есть ее нельзя доказать или опровергнуть без дополнительных предположений. Эта теорема объясняет, что возможна очень специфическая конфигурация из десяти точек; на рисунке это O, A, B, C, D, E, F, K, L, M. Если стороны треугольников ABC DEF (точнее, продолжения этих сторон) проходят через общую точку O, то общие точки прямых, соединяющих соответствующие вершины, лежат на одной прямой. Сложная формулировка поясняется на рисунке. Точки К, L, М лежат на одной прямой.

Можно сказать так: можно посадить 10 деревьев в семь рядов, три дерева в ряд.

Теорема как теорема. Важно в так называемом проективная геометрия. Что интересно, так это доказательство. Рассмотрим фигуру DEFABCO как трехмерное тело, пирамиду с основанием DEF и вершиной O, разрезанную плоскостью ABC. Плоскость DEF и плоскость ABC имеют общее ребро. Это простой КЛМ.

Это доказательство требует некоторых уточнений — например, не могут ли плоскости ABC и DEF быть параллельными. Они могут… и нам нужно это обсудить некоторое время, чего я не буду делать для экономии места на сайте.

Смена парадигмы

Я закончу серьезным обсуждением. Я не знаю, скольким читателям это будет интересно — ведь сколько людей интересуется развитием математики? История восходит к 50-м и даже 40-м годам ХХ века. Еще до Второй мировой войны была известна группа французских математиков под общим псевдонимом Николя Бурбаки (видимо, подлинный Бурбаки был одним из многих офицеров Наполеона, не переживших отступление из Москвы). Во время войны несколько таких математиков попали в плен к немцам, и поскольку условия были комфортными по сравнению с лагерями для польских офицеров, они могли заниматься математикой. Десять лет спустя навязал новую парадигму всему математическому сообществу.

Понятие «парадигма», созданное Томасом Куном в 60-х годах, лучше всего можно описать как «набор идей, в которые нужно верить». Имеется в виду не столько метод, сколько стиль действия в науке, способ на нее смотреть, характер ее культивирования. Важны были уже не числа, фигуры, формы и функции. Форма, идея и общность были важны. Этот сдвиг в направлении исследований выбросил за борт одну из двух самых важных специальностей прекрасной польской школы математики: геометрическую топологию. Извините, я не буду объяснять, что происходит. Скажу лишь, что исследования польских математиков касались очень сложных, но и очень странных пространств; сейчас мы бы сказали странно. Для каждой задачи приходилось изобретать особый способ. Общности не было (ну, но я немного утрирую). В «новой» математике имело значение только общее. Это так и так до сих пор, хотя развитие компьютеров снова делает нужными уловки. Мало кто протестовал против новой математики. «Математика, сведенная к общим теориям, была бы прекрасна, но бессодержательна. Она скоро умрет».

Написано около 300 г. до н.э. Элементы Евклида После некоторых модификаций до начала XIX века они были и учебником для юных учеников, и незаменимым чтением для профессиональных математиков. Все говорили об этой работе с величайшим восхищением. Приведем слова Альберта Эйнштейна: «Этот удивительнейший продукт мысли дал человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его дальнейшей деятельности».

«Мир — это отражение идей, в которые верят люди». Это признавали многие мыслители. «Начала» Евклида не только систематизировали геометрические знания, которыми обладали греки за 300 лет до нашей эры. Готфрид Вильгельм Лейбниц писал в 1704 году: «Надо признать, что греки в математике рассуждали со всей возможной точностью и что они оставили человечеству образцы искусства командования». Для многих поколений Евклид был прежде всего учителем логики. Вот почему идеал логического построения науки в XVII и XVIII веках иногда называли геометрическим методом.

Удивительно, что такой практический навык, как измерение земли, превратился в образец математической точности, точности, методов доказывания, аргументации и логики вообще. До середины девятнадцатого века термин «геометр» означал математика, «математиком» — ведь, согласно этимологии слова, — был каждый ученый в области точных наук, и такие работы, как «Модель политической очевидности» Лейбница были написаны «геометрическим методом» Этика Спинозы и Оптика Ньютона.

Какое это имеет отношение к теме данной статьи? Итак, смена парадигмы математики, начатая в 50-х годах, привела к очень глубокой реформе преподавания, которая была проведена в Польше в середине следующего десятилетия. «Мы сможем преподавать дошкольникам высшую математику», — воскликнули в восторге математики, а учителя — во многом благодаря Зофии Криговской — написали соответствующие учебники. А через несколько лет оказалось, что да, всему можно научить всех, но никто ничего не понимает — кроме горстки молодых людей, увлеченных одной только математикой. Ситуацию «исправили», убрав математику из вступительного экзамена. Когда математику снова ввели на аттестате зрелости, оказалось, что молодежь знает меньше, чем до первой реформы. «Хотели хорошо, а получилось как всегда». Я не исповедую чужие грехи — я сам был увлечен преподаванием математики, насколько это возможно, и отговорка, что я молод и глуп, — отговорка.

Мы потихоньку отошли от этой реформы, и эффект йо-йо, известный толстякам, дал то, что всегда дает. В противоположном направлении послышались колебания: уровень упал ниже базового уровня. Но об этом через месяц…