Ненавязчивое очарование простых чисел

Я на всякий случай напомню. Натуральные числа — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… Конечно, список можно продолжать и продолжать. Компьютерщики классифицируют нуль как натуральные числа, а математики — нет. Можно сказать, что натуральные числа — это «действительные числа»: они показывают, сколько чего-то существует.

В самом слове «число» мы имеем ссылку на «лицо» (а значит, и на творение). Лицо — это «лицо», вычислить — значит «показать лицо» и, следовательно, объяснить. В подтверждение моего частного лингвистического тезиса у меня есть значения нескольких слов в языках бывшей Югославии (т.е. страны южных славян). на сербском и словенском это означает «завершать», а на македонском означает «быть похожим». Но по-немецки это еще и число, оно «счетное» и — говорящее.

Считай комаров

Что общего у наборов на рисунках 1 и 2?

На рис.1 мы видим 44 случайно выбранные точки плоскости. Они образуют коллекцию. На рис.2 у нас другой набор с таким же количеством элементов — сорок четыре квадрата.

На футбольных матчах более высокого ранга команды выходят на поле… с детьми. Каждый участник ведет за руку мальчика или девочку. Это для снижения напряжения, ослабления атаки тестостерона. После этого дети запомнят этот спектакль на долгие годы. Сколько детей нужно для полуфинала чемпионата мира? Читатели, которые разбираются в футболе, уже знают ответ: 44.

1. «И имя ему сорок четыре»

Но почему я об этом пишу? В этом примере можно понять ответ, который мы могли бы дать математикам XNUMX века: что такое число? Тот самый номер как таковой.

Теперь в основах математики мы говорим примерно так: число — это то, что является общим для равновесных множеств. Я не хочу вдаваться в эти вопросы, но позвольте мне указать, что нам не нужно обращаться к понятию числа при определении равновесных множеств. Если мы хотим узнать, столько ли овец в стаде Антека, сколько в стаде Бартека, мы пускаем двух овец: левый подворотня овец А, правый овец Б, и в конце мы можем посмотреть, у кого было больше — у Антека или у Бартека.

Цифры, цифры. Мир становится все больше и больше оцифровывает. Их бесконечно много. Наш разум восстает против бесконечности. Компьютеры никогда этого не поймут. Но не легче ли представить, что всего лишь бесконечно много чисел? Прибавим к самому большому единицу и что?… Можем успокоиться, вспомнив о комарах на Мазурах. После каждого всегда есть еще один. Философы называют это с потенциальной бесконечностью: речь идет не о бесконечном предложении, а о непрерывном становлении.

Метафизика трех типов

Эти мысли приходят в голову каждому, кто углубился в изучение простых чисел. Невозможно избежать метафизического впечатления: как сложно Бог создал нашу математику! Атеистическая версия: как сложно устроен человеческий разум! В конце концов, числа — это продукт нашего разума. Галактик во Вселенной миллионы, а числа «миллион» нет.

Натуральные числа делятся на три типа.

Первый — это… простые числа.

Мы называем числа, которые не могут делиться ни на что, значит… они должны делиться на 1 и сами на себя. Сразу отметим, что польская терминология (как и английская, немецкая и французская) не самая удачная. Русский термин кажется лучше: простые числа (). Но можно также считать, что «первый» означает «оригинальный». Все сделано из них.

Числа, которые не являются простыми, являются сложными. Их можно разбить на два или более основных фактора.

Внимательный Читатель заметил, что «что-то не так» — где же третий тип? В конце концов, число либо можно разложить более чем на два простых множителя, либо нельзя. Ну да, но цифру 1 мы не включаем ни в первую, ни в комплексную. Есть логические причины, почему мы должны это сделать, но я не буду в них углубляться.

Число 2 простое, а все остальные простые нечетные. Нетрудно заметить, что чем дальше мы продвигаемся по числовой прямой, тем реже сталкиваемся с простым числом. Можно принять форму теоремы: наиболее вероятная разница между последовательными простыми числами стремится к бесконечности.

В названии статьи есть слово «незаметно». В математике это слово имеет особое значение. Это оппозиция преемственности. Осторожно — это примерно то же, что и «прыжок». Течение воды непрерывно, течение времени может быть скачкообразным — в спортивных соревнованиях мы обычно измеряем его с точностью до секунды (шоссейный велосипед), сотой доли секунды или даже тысячной доли (катание на санях).

Термин «простые числа располагаются все меньше и меньше» следует понимать соответственно, потому что могут быть даже два огромных числа, отличающихся только на 2. Мы называем их побратим. Перечислим несколько таких пар:

3 и 5, 5 и 7, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43, …, 197 и 199, …, 1639494·2⁴⁴²³-1, 1639494 · 2⁴⁴²³+1 , ….

Мы не знаем, являются ли такие числа конечными или их бесконечно много. Ровно сто лет назад (1919 г.) норвежец Вигго Брун (1885-1978) показал, что если их бесконечно много, то располагаются они… очень редко. Математически это выражается так: ряд сходится. Это, в свою очередь, означает, что сумма 

¹/₃ + ¹/₅ + ¹/₇ + ¹/₁₁ + ¹/₁₃ + ¹/₁₇ + ¹/₁₉ + ¹/₂₉ + ¹/₃₁ + ¹/₄₁ + ¹/₄₃ + ⋯

он никогда не превысит определенную константу, известную как стала Бруной. Сегодня мы знаем постоянную Бруно γ с точностью до 13 значащих цифр:

= 1,902160583104…

Поучительный курьез состоит в том, что в 1996 году математик с приятным именем Мило показал, что процессор Intel Pentium TM неисправен, потому что он неправильно вычислял константу Бруно. Математика повсюду, и история математики запомнит Бруно как автора одной, но глубокой теоремы.

3. Простые числа как диагонали

Когда я написал свою первую книгу (1975 г.), самые большие известные числа близнецов были последними в последовательности, которую я написал выше. Каждый из них имеет 1338 цифр. Сегодня мой домашний ноутбук вычислил его за долю секунды, а в августе 2019 года самыми крупными из известных близнецов были

29966863034895 2 ·^1290000 ±1,

388342 цифры каждый. Безусловно, этот рекорд будет быстро побит.

Из успехов в изучении чисел-близнецов я упомяну два результата: существует бесконечно много простых чисел, таких, что оно либо простое, либо произведение двух простых чисел (Чен Цзинрунь, 1966). Второй, более новый результат (2009 г.): существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся не более чем на 6. Он интересен тем, что был получен так называемым группа Полимат — сеть соединенных обычных (ну почти обычных) персональных компьютеров. Это просто невероятно: я подключаю свой компьютер к сети и осознаю, что являюсь одним из винтиков, приводящих в действие всю машину. Я маленький человек из тысячи людей, толкающих скорый поезд.

Я оставлю это как несложную задачу для читателя, почему нет простых чисел вида 2, 4, 6, а последовательность 2, 6, 8 уже приемлема? Самые маленькие «четвёрки» — 5, 7, 11, 13. Седьмое десятилетие девятнадцатого века ознаменовалось такими числами: 1871, 1873, 1877, 1879, и к 2081 году проживёт много читателей, чьи младшие братья — 2083, 2087 и 2089 — тоже будут простыми числами.

Нетрудно привести пример сколь угодно длинного ряда последовательных комплексных. Если мне нужно, скажем, 19 последовательных чисел, не включающих простое число, я беру 20! + 2, 20! + 3, 20! + 4,…, до 20! + 20. Первое из них делится на 2, второе — на 3, третье — на 4, последнее — на 20. Так или иначе, два других тоже складываются, а следующий, т. е.

20!+23=2432902008176640023,

послужит мне для разъяснения читателю идеи «общедоступные шифры» — шифры, в которых я вам прямо говорю, как шифровать… но из этого не следует, что мы можем взломать код! Ну, мой ноутбук говорит мне, что это число не простое (и, следовательно, сложное), но не может его разложить на множители. Слишком трудно. Именно тот факт, что факторизирующие числа трудно вычислить, лежит в основе создания таких шифров. Это как… спрятать листик в лесу. Конечно, более производительный компьютер разложит это число на множители, но… именно поэтому мы ищем большие простые числа, чтобы ни один существующий компьютер не справился с их разложением на множители.

Станислав Улам (1909-1984) был выдающимся представителем львовской математической школы. Ему удалось уехать из Польши по американской стипендии в 1938 году и, таким образом, пережить войну. Его также помнят как «отца американской водородной бомбы»… Некоторые люди очень напоминали ему, что он посвятил себя изобретению, которым мог наслаждаться только дьявол. Но я не об этом хочу написать. Якобы на конференции в 1963 году Улам ужасно скучал. Он начал писать числа по спирали — просто так, отмечая, какие числа являются простыми. На рис.3 у нас есть начало спирали 41. Улам заметил, что простые числа имеют тенденцию располагаться по диагонали. 

Теперь я предлагаю три интересных факта.

1. Существуют простые числа, состоящие только из единиц, например, 23-значные 11111111111111111111111, а состоят они из следующих цифр: 23, 67, 89, 4567, 56789, 456789, 23456789, 1234567891, 1234567891234567891234567891, XNUMX

2. Каждый математик сразу узнает, что это за число: 31415926535897932384626433832795028841.

Конечно же — начало расширения числа до 38 значащих цифр. Это простое число!

3. Чем интересно простое число 73939133?

Дело в том, что числа, полученные последовательным «усечением» его справа, также являются простыми: 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73, 7. Перечислить все числа, обладающие этим свойством, не очень сложно. Это:

53, 317, 599, 797, 2393, 3793, 3797, 7331, 23333, 23339, 31193, 31379, 37397, 73331, 373393, 593993, 719333, 739397, 739399, 2399333, 7393931, 7393933, 29399339, 29399999, 37337999, 59393339, 73939133.

Номера близнецов подчеркнуты. Почему во всей последовательности нет четной цифры?

4. Спираль Улама. Простые числа отмечены точками. Здесь также видно, что им «нравятся» диагональные ряды (источник изображения: http://bit.ly/2zrFnF1)

Цифры на коврике

В 2006 году китаец Теренс Тао получено Медаль Филдса, рассматриваемый математиками как эквивалент Нобелевской премии — по крайней мере, когда речь идет о престиже, потому что премия дается чеком на 15 XNUMX. Канадские доллары (= цена популярной малолитражки или зарплата халявщиков из Европарламента в Брюсселе). Одним из достижений, поднявших его так высоко, было доказательство (сотрудничество с я зеленый, 2004), что существуют сколь угодно длинные арифметические последовательности простых чисел. В этой статье сложно передать важность такого достижения. Однако у него есть некоторые «польские корни»: соображения на эту тему появлялись в работах молодых польских математиков 50-х и 60-х годов. Я упомяну здесь только имя Анджей Монковски.

Девятнадцатый век дал нам идиллическую картину науки: самоотверженная борьба за знание. У одного из самых выдающихся польских математиков, чьи инициалы я зашифрую XY, было правило: у профессора может быть только один ученик. Из нескольких молодых, талантливых адептов он выбрал одного — остальных отверг. Анджей Монковски был одним из отвергнутых. Другой был JB (поддельные инициалы). Когда JB получил премию XY в 2005 году, он оскорбил жюри тем, что не примет ее. С другой стороны, Манковский, умерший в 1999 г., не пошел дальше степени магистра, но его заслуги перед польской математикой, безусловно, больше, чем у профессора X. Y. Это излечило меня от идиллической картины науки. Однако эта статья не об этом.

У нас есть выражение «разложить на простые множители» в повседневном языке. Мы понимаем — это такое разложение, что дальше уже не пройти. Где есть сложение и умножение, там мы можем разложить выражения в произведение. Мы помним со школы: ²²( + )( — ).

Большинство читателей знакомы с комплексными числами. Это количество символов, где ²-1. Действия над ними подчиняются тем же законам, что и над обычными числами (называемыми в школе). Например, (1 + 2) (1 +) = -1 + 3, поэтому -1 + 3 является произведением двух множителей. Следовательно, это не простое число. Те, которые приходятся простыми, называются простыми числами Гаусса. Достаточно взглянуть на рис.5, чтобы… они понравились. Однажды в подарок от дамы из Гданьска я получил ковер с вышитыми (крестиком) простыми числами Гаусса. Красивый.

Прежде чем простые числа нашли неожиданное применение в криптографии (а это касается не только кодов доступа к устройствам, способным уничтожить мир, но и, например, электронных подписей), они были предметом исследований поколений математиков. Древние греки были поражены ими. Простое для сегодняшнего школьника доказательство бесконечности множества простых чисел вызывало метафизический трепет у поколений философов — в основном за счет использования «косвенного» метода. Шерлок Холмс говорил, что если исключить невозможное, то, что останется, каким бы невероятным оно ни было, реально. Сформулированный таким образом логический принцип заведомо неверен (Читатель: почему?), но правильно сформулировать его нетрудно. Это один из так называемых логические каноны Джон Стюарт Милль.

6. Приращение простых чисел

Что, если бы простых чисел было конечное число? Вы могли бы умножить их все; Оно могло быть огромным, но пусть там будет какое-то число. Прибавим 1. Новое число, +1, не делится ни на одно из простых чисел, потому что всегда есть остаток от 1. Если так, то это само по себе новое простое число. Итак, мы предположили, что написали все простые числа, а оказалось, что не все! Единственный выход из этого противоречия состоит в том, что мы не можем перечислить все простые числа. Так что их бесконечно много. Хоть мы и улетим от начального числа 1 на миллион световых лет, впереди всегда будет… бесконечно много простых чисел.

Как я уже писал, простые числа встречаются все реже и реже по мере продвижения по числовой прямой. Как редко? Как это измеряется?

Есть много приближенных формул. Самые старые из них:

,

где в знаменателе стоит натуральный логарифм числа n, т.е. логарифм с основанием e = 2,7182… Мы можем сравнить эти две функции — мы видим, что аппроксимация всегда недостижима.

Можете ли вы найти лучшие приближения? Ты сможешь. Функция, называемая интегральный логарифми обозначаются через. Определим его для >2. Для тех, кто разбирается в исчислении, приведу интегральную формулу:

,

а кто не знает этого исчисления, тот поймет такой термин из рис.7. Видимая там кривая есть обратная, и значением является площадь под этой кривой от 2 до . На рисунке = 10. Значение (10) отмечено флажком и примерно равно 5,12.

Бернхард Риман (1826-1866), прославившийся в математике несколько иной причиной, чем изучение простых чисел, открыл очень точное приближение функции ?(?). Узор сложный, но очень красивый. Действительно, даже математик недоумевает, «как он это придумал»:

Это приближение уже очень хорошо. Если мы обозначим функцию справа знаком (), то получим, например, (1000000000 50847534 1000000000 50847455) = XNUMX XNUMX XNUMX и (XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX) = XNUMX XNUMX XNUMX; очень-очень маленькая ошибка. Действительно удивительно, Риман пошел дальше и нашел точную формулу для ().

Он ввел в игру функцию двух переменных и обозначил ее греческой буквой ζ (дзета). Он показал, что (x) = () минус сумма значений () во всех нулях дзета-функции. Фу, сложно. Но значит ли это, что мы уже все знаем? И да и нет. Мы не можем найти все нули дзета-функции. Собственной гипотезой Римана было подозрение, что все они лежат на одной прямой. Но ни доказать, ни опровергнуть — этого пока никто не может сделать. Более того, в настоящее время это самая серьезная математическая задача, которую предстоит решить. Некоторые люди нахально утверждают, что после доказательства этой гипотезы мы сможем создать искусственный интеллект, и тогда наступит конец света. Читатель — аспирант средней школы, проверьте, понимаете ли вы фразу «кассандровое пророчество»…

Но почему это так важно? Это не просто «метафизические» вопросы — мы получаем полное знание простых чисел. Проще говоря, тот, кто лучше знает простые числа, может построить лучшие шифры. Жаль, что так получилось, что в труднодоступной «математике» не осталось простых чисел.

(забытый поэт XNUMX века господин Тадеуш в поэме «Адам Мицкевич»)