Прямо, влево, вправо

Под этим названием («Прямо, влево, вправо») были мои «математические и литературные» мастер-классы на Математических Миколайках (6 декабря 2019 г.) в Национальном детском фонде. Фонд ищет и заботится о детях, которые исключительно одарены (в любой области). Статья представляет собой своего рода отчет об этой деятельности, и я написал ее в тот день, когда Ольга Токарчук получила Нобелевскую премию. Итак, я начну с литературы, с анализа стихов Ежи Харасимовича и Юлиана Тувима.

1. Прямая линия скручивается в клубок.

Студенты не знали, что значит «написать что-то в дымоход». Они также не знали, что он имел к этому отношение. питагора. Ведь в теореме Пифагора упоминаются треугольники. Я объяснил, что роль Пифагора в европейской культуре заключалась в том, что он основал первую «школу». Пишу в кавычках, потому что это было нечто среднее между школой в современном понимании, монастырем, сектой и научным обществом.

«Человеку суждено исследовать мир» — так можно резюмировать послание, которое он оставил поколениям европейцев. Он оставил любопытство к миру и навязал исследования, которые можно было бы назвать научными. Размышление о собственном уме, о безграничности мира, о простых правилах геометрии, из которых возникают законы мира. Поэтому Ежи Гарасымович он вплел Пифагора в свою поэму.

Трудно понять, почему прямая устала и хочет свернуться в клубок. Может быть, это ничего не значит, а может быть, поэт предвосхитил так называемое Теорема Бэджера?

Кароль Борсук (1905-1982) был выдающимся математиком, связанным с Варшавой. Одним из его последних математических открытий является теорема погружения. Каждое пространство размерности n можно погрузить в маленький шар в пространстве размерности +1. На рис. 1 показано, что делать с прямой линией.

В очереди Джулиан Тувим он признал себя тупым в математике. Трудно поверить, но такое кокетливое отношение было полезно и раньше, и сейчас («ничего не может — сам себе мужик!»).

Однако во времена Тувима, в царской школе, математика сводилась к скучным вычислениям, в том числе алгебраическим, и сложной геометрии. В процитированном стихотворении поэт обозначил свою позицию в средневековый спор об универсалиях. О чем был этот спор? Существуют ли в природе объекты математических исследований? А может их и нет в природе, а… ну где? В сознании людей? Если бы не было людей, то не было бы и прямых линий? И когда человечество вымрет, 7 останется простым числом?

Читатель, который дуется: зачем думать о чем-то подобном, — будет прав. По крайней мере, в сегодняшнем рационализированном мире. Поэтому в ходе вышеупомянутых семинаров мы перешли к обсуждение левой и правой стороны.

Справа налево, а где?

2. Моя прогулка вокруг озера Гибы.

Эта тема увлекла меня с того момента, как (много лет назад) мой друг сказал мне, что, выйдя из автобуса, я должен был искать ее на правом берегу вытянутого озера. В частности, речь шла о небольшом озере Гибы в районе Сувалки.

Ходил как на схеме 2. Обошёл вокруг озера и нашёл лагерь скаутов (где воспитателем был мой друг), но только в месте отмеченном крестиком. К моему удивлению, она ответила своим:

—

Геометрия отличается от арифметики большим количеством интуиции. Неудивительно – пространственные образы формируются у нас с первых дней жизни, и в основе всех образов лежат понятия «внутри» и «снаружи».

Отсюда понятие расстояния, которое углубляется, когда ребенок начинает своими шагами пересекать пространство. Постепенно оно овладевает (а почти все мы были ребенком, как заявил Антоний Фертнер в довоенном польском фильме «Забытая мелодия») последующие геометрические понятия: до-после, под-над, от-до, отсюда сюда. , через, рядом, между, сверху-снизу, снизу-сверху, спереди-сзади и, наконец, самое сложное: слева-направо. Как я уже говорил, мои ноги обнаружили это. Часто это связано с движением.

Когда на вопрос, где остановить машину, я слышу от жены «за тем красным бубубу» (не понимая последнего слова), то если «бубубу» означает другую машину, припаркованную на моей улице, то я его не обгоню, а Я буду стоять как бы за кем-то в очереди. Однако, если это означает «за этим красным домом», я сделаю обратное: я пройду мимо этого дома, чтобы встать за ним — чтобы он был позади.

Ведя машину с второстепенной улицы и поворачивая направо, включаю правый поворотник. Но когда эта улица плавно входит в главную улицу, под небольшим углом — у меня возникают сомнения: налево или направо.

Когда я въезжаю в левый ряд с правого, я, естественно, поворачиваю на левый. И еще, для транспортных средств с приоритетом я въезжаю в их полосу справа. Обратите внимание, что хотя автомобильное зеркало (как и любое другое) поворачивается влево и вправо, я увижу мигающий сигнал поворота автомобиля, следующего за мной и пытающегося повернуть налево, с левой стороны!

Если я плыву на спине рядом с веревкой, разделяющей дорожки в бассейне, и веревка у меня в левой руке, это моя правая сторона.

Стрелка, указывающая вверх на слово «Гданьск», и стрелка, указывающая вниз на слово «Гданьск» над нашей полосой на автомагистрали, будут нас одинаково успокаивать: мы едем в Гданьск.

Вы когда-нибудь задумывались, Читатель, почему зеркало, в которое вы смотрите, когда бреетесь/наносите макияж, поворачивается влево и вправо, а не вверх и вниз?

Когда стропила на реке Дунаец говорят вам, что мы будем избегать опасных скал справа, мы знаем, что оставим их слева. Впрочем, если он скажет, что «проходим Три Короны слева», мы тоже будем смотреть на левый берег. Сложно и нелогично, правда? Ничего удивительного: те, у кого был «в гору из школы в школу», не достигнут высот.

Большинство людей правши, но «только» большинство. Даже в моем детстве детей всегда заставляли писать правой рукой. В каждом языке «закон» ассоциируется с порядком и добром.

3. Задание на прогулку в тумане.

В университетах есть юридические факультеты. У нас «левые» интересы, «левые» доходы. Избегайте босса, если он сегодня встал с левой ноги и вывернул рубашку наизнанку. С «бочкой» что-то не так и к немецкому das Luft — air никакого отношения не имеет, только к английскому left или lyft, отсюда и немецкие ссылки.

Единственная хорошая ассоциация, которая приходит мне в голову при слове «левый», — это Роберт Левандовски, которого, как говорят, зовут «Леви». Мы не будем здесь обсуждать политику (левые и правые партии).

Фу. Мы знаем, что мы не совсем симметричны. Дело не во внутренних органах, а в самой внешности. Обычно у нас более сильная правая сторона, но иногда бывает по-другому. А вот и поучительная задача.

Задание 1. Моя левая нога на 0,1 см длиннее правой. Как будет выглядеть моя дорога на большой площади, в густом тумане, то есть без возможности визуальной коррекции?

Решение простое. Давайте посмотрим на цифра 3. Когда мы не можем скорректировать направление марша своим зрением (например, туман на пустом месте), мы непроизвольно поворачиваемся после каждого шага. Предположим, мы делаем шаги в полметра, а расстояние между стопами равно 10 см. Составляем пропорцию: х/50=(х+10)/50,1.

Все решат. Результат удивителен: х = 5000 см, значит 50 м. Значит достаточно разницы в 1 мм в длине шага и мы будем делать круги диаметром 100 м и «никогда» не выберемся из этого замкнутого круга! Страшно, не так ли? Истории путешествий полны рассказов о путешественниках, которые иногда находят свои собственные следы.

5. Путешествие из пункта А в пункт Б может быть трудным…

Обсуждение правостороннего и левостороннего движения на семинарах было интересным, но коротким. Как спланировать операцию переключения на «обратку»? Это не просто теоретический вопрос. В 2009 году в штате Самоа ввели левостороннее движение (да-да, справа налево). Но это не тема для математического уголка.

«Слева и справа» — это введение в «симметрию». Многие геометрические задачи решаются с помощью симметрии.

Наиболее известен следующий. Я хочу проехать из точки в точку верхом (как на рисунке 4), чтобы дорога была как можно короче и лошадь пила воду из реки. Задача с тем же математическим содержанием: из точки хочу осветить точку, но между ними есть препятствие. К счастью, у меня есть зеркало…

6. Ортотреугольник как средство для определения прямой линии.

В обоих случаях решение одно и то же: точку зеркально отражаю относительно прямой, соединяю с прямой с ₁ и я поставил точку. Это место, где лошадь будет пить воду, или точка, откуда я направлю на нее луч света.

Ситуация усложняется, когда препятствие между точками большое (5).

Идея «рассуждаем симметрично и все упростится» используется во многих геометрических задачах. Здесь только одно.

Задание 2. На сторонах треугольника набираем точки ,,, по одной с каждой стороны. Как сделать треугольник как можно меньше по окружности?

Решение так называемое ортотреугольник, то есть точки, являются блюдцами трех высот треугольника. Гениальное доказательство показано на рис. 6. Мы отразим треугольник несколько раз. Ортотреугольник образует прямую (правильнее: отрезок) — и это кратчайший путь между двумя точками.

Вверх по лестнице Джульетты к спиралям Архимеда

Участниками занятий, о которых я пишу, были ученики (16 мальчиков и одна Юля) 7-8 классов начальных классов. Таким детям не следует утомлять слишком высокой математикой. Кстати, кого можно надоесть? Я оставлю этот вопрос без ответа. Я дал своим ученикам задание о лестнице. Не все знали, почему лестницы в средневековых замках почти всегда были левосторонними. На таких лестницах правшам легче защищаться от нападающих снизу.

Во время занятий из кубиков «Лего» нужно было построить устойчивые левосторонние и правосторонние лестницы на небольшом основании. Понятие устойчивости лестницы вызвало дискуссию.

Помню на втором курсе «рассчитывали лестницы» — их долговечность. Для этого есть формулы, но мы хотели проверить их математически. На наших занятиях в мастерской Юля сделала лучшую лестницу — позаботилась об устойчивости и эстетическом подборе цветов (7). Мальчики занимались неаккуратно и пестро.

8. Левосторонняя спираль Архимеда.

Математический вопрос, связанный с лестницей, кажется очевидным: сколько блоков вам нужно, чтобы построить лестницу на n-й этаж? Ответ довольно прост — посчитаем высоты следующих баров. У нас есть суммы последовательных чисел 1 + 2 + 3 + и так далее.

Если мы воспользуемся базой, которую взяла Юля, то сможем устроить лестницу на одиннадцатый этаж. Сумму последовательных чисел от 1 до 11 вычислить несложно, а «умный» способ таков: под суммой пишем второе, такое же, только в обратном порядке:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+

11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1.

Есть одиннадцать баров

(1 + 11 = 2 + 10 = 3 + 9 и т. д.), всего 12. Вам просто нужно умножить 11 на 12, чтобы получить удвоенную сумму, которую мы вычисляем. Результат 66.

С точки зрения математики самым интересным заданием оказалось строительство из блоков. На рисунках 8 и 9 мы имеем левые катушки — «настоящие», то есть такие же, как катушки на граммофонной пластинке, и составленные из прямоугольных блоков.

Конечно, теоретически обе спирали простираются до бесконечности. Можно увидеть, что характерно для спирали Архимеда — одинаковое расстояние следующих витков. Именно поэтому такая спираль подходит для музыкальных пластинок — виниловых пластинок, разумеется, которые возвращаются в обиход.

Задание 3. Сделайте левую и правую «квадратную» спираль. Начните, как показано на рис. 9. Цвета повторяются в показанном шаблоне. Какого цвета катушка №2020? Какого цвета угловые квадраты? Откройте правило. Сколько блоков нужно для спирали с n витками?

Нумеруем следующие блоки по спирали. Черный квадрат имеет номер 1, затем идут синие 2, 3, желтые 4, 5, 6 и так далее (10).

Какого цвета кирпич с номером 2020? А кирпич с номером 10?

Сколько блоков каждого цвета нужно для спирали из ста витков? Откройте также общее правило (т. е. для спирали она поворачивается).

Обратите внимание, что белые прямоугольники на этом рисунке также образуют спираль. Это левша или правша? ОСТАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ о спирали выполните самостоятельно. Решите их.

У нас не хватило времени на решение этих задач… и нам не хватило места в этой статье.