Uroki spirali Archimedesa

Когда-то на граммофонной пластинке (теперь называемой виниловой) меня восхищали канавки, вырезанные там, где музыка уже закончилась. Их ставили редко, поэтому рука с иглой ускорила дугу и, наконец, выключила поворотный стол.

Канавки на пластинах этого типа расположены по архимедовой спирали. Такая кривая характеризуется постоянным расстоянием между последовательными витками. Его уравнение в полярных координатах имеет вид

г = аф,

где a — некоторая положительная константа, φ — угол, r — ведущий радиус. Можно сказать, что радиус растет пропорционально углу. Еще проще — муха будет двигаться по спирали Архимеда, проступая по радиусу вращающейся пластины. Мы видим это на иллюстр. 1а еще лучше на иллюстр. 2 — красная ломаная линия соединяет последовательные узлы сетки. Сама спираль представляет собой непрерывную кривую, образованную последовательными ломаными приближениями.

2. Спираль Архимеда — непрерывная кривая, созданная последовательными ломаными приближениями

Спирали могут быть левосторонними или правосторонними. Их взаимопроникновение дает красивую картину (3). В иллюстр. 4 имеем несколько спиралей с общей вершиной (т.е. с разными параметрами а).

3. Это не участок тоннелей метро… — это просто фрагменты двух спиралей

Интересна головоломка из кубиков Lego (5) — видимый там узор можно было бы назвать «квадратной спиралью Архимеда»; как будто на рис. 1 показывают не семь рук, а четыре.

4. Различные левосторонние спирали Архимеда — это напоминает разбивающуюся морскую волну

Задание 1. Можем ли мы вычислить длину такой спирали? Единицей являются «кнопки» блоков.

Давай попробуем. Первый свиток (белый) имеет 11 кнопок, следующий, оранжевый, имеет 5 + 6 + 7 + 8 = 26. Каждая сторона на 1 больше в длину. Последняя длина равна 47. Итак, мы должны вычислить сумму S = 11 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +… + 46 + 47.

Мы можем сделать это Гауссовский путь. Во-первых, давайте напишем это:

S=1+1+2+3+4+5+….+46+47

Давайте посчитаем сейчас

2·S=2+2·(1+2+3+4+5+….+46+47)= =2+2·((1+47)+(2+46)+(3+45)+(23+25)+(24+24))= =2+2·24·48=2306

Это значение удвоенной суммы «кнопок» на пэдах, поэтому S = 1153. Это можно рассчитать стандартным школьным методом, подставив в формулу суммы арифметическую прогрессию.

Задание 2. Где видна «спираль» в иллюстр. 5 будет номер 2017?

Задание 3. Какие числа стоят на углах «спирали» z иллюстр. 5 — т.е. где он меняет свое направление? Откройте общую формулу для этих чисел.

Задание 4. Теперь взгляните на иллюстр. 6. Вы видите там две спирали? Один из них состоит из зеленых кирпичей, другой – из чередующихся оранжевых и фиолетовых кирпичей. Какова длина следующих оранжевых блоков? Какова длина следующих фиолетовых блоков? Это задача скорее на проницательность, чем на арифметику…

5. «Квадратная спираль Архимеда» из кирпичиков Lego.

6. Две спирали: одна зеленая, другая оранжево-фиолетовая

Задание 5. Длина зеленой спирали на рис. 6 равно 66 (за единицу длины мы теперь возьмем две кнопки — сторону квадратной плитки, из которой мы можем все расположить). Это можно посчитать. Можно вычислить «умно», как длину спирали на рис. 5 (задача 3). Это может быть даже проще. Сколько фиолетовых блоков (т.е. не столько блоков, сколько квадратов 2 × 2)? С одной стороны 2+6+10, с другой 4+8+12, что дает в сумме 42. Оранжевых блоков (квадратов) 36. Всего 78. Все блоки (трех цветов) заполняют квадрат 12 на 12. Итак, зеленых блоков 144. –78 = 66. Вот так! Представьте, что спирали (две!) как на рис. Я поставил 6. Выведите общую формулу длины обеих спиралей («оранжево-фиолетовой» и «зеленой») на сечениях. Чем отличаются эти две спирали?

Задание 6. В наборе кубиков Лего для первого класса начальной школы есть такое задание: сделать из кубиков змейку. Алгоритм расстановки можно записать в виде последовательности чисел, например (4, 3, -2, 4, -5). Интерпретируем это так: сначала ставим брусок длины 4 (направление нейтральное, а вместо бруска длины 4 может быть четырежды 1, 2 плюс 2, 1 плюс 3 и 3 плюс 1), затем поворачиваем направо и пройдите три единицы, затем налево 2, направо 4 и налево 5 — вы можете определить направление поворота по знаку числа. Вы получите «змейку», показанную на рис. 7. Подумайте, почему последние два числа в этом обозначении 4, –5, хотя последний блок равен 6 – «должно быть», значит –6.

7. Змея (4, 3, -2, 4, -5)

Спираль Архимеда прекрасно иллюстрирует простую теорему, которую он доказал в 1981 году. Кароль Борсукодин из великих польских математиков 1930-1980 годов, несколько забытый сегодня. Его карьера была прервана, конечно, войной — так как он потерял целое поколение в лучший период своей не очень долгой жизни (1905-1982). Посмотрим на спираль. Если бы мы жили на ней и если бы не было окружающего пространства, мы жили бы как бы по прямой. Искривление стало бы незаметным — это понятие из «высшего измерения». Линии и поверхности искривлены в каком-то большем пространстве — поэтому нам так трудно понять, что наше трехмерное пространство вокруг нас искривлено в пространстве-времени. Точнее: возможно, она у него кривая.

Кароль Борсук показал, что евклидово пространство можно погрузить в сферу любого малого радиуса в пространстве размерности большей на 1. Здесь нет места для подробного обсуждения этого метода, но давайте снова посмотрим на спираль (т.е. на случай п = 1). Для его обитателей невозможно попасть из одного свитка в другой, кроме как просто пройдясь по линии. С другой стороны, «НЛО-народники», существа не из этого пространства, могут перескакивать с одного переката на другой через пространство и даже обгонять свет, путешествующий в нашем пространстве, то есть по виткам спирали. Это заставит нас, жителей спирали, почувствовать себя путешествующими во времени. Конечно, сам Кароль Борсук посмеялся над этим, но журналисты какое-то время затруднялись понять, была ли это просто шутка или действительно польский ученый объяснил тайну путешествия во времени.

Несколько лет назад некоторую популярность приобрела настольная игра с животными — игрок управлял фермой, целью было получение максимальной прибыли. Эту игру придумал Кароль Борсук во время войны для заработка. Спустя много лет кто-то вспомнил о ней.

***

На мгновение я уйду далеко от того, о чем я пишу и о чем я хотел бы написать. Я с ужасом замечаю, что становится все больше людей, прославляющих военное время и все больше молодежных военных игр, все больше военных игр. Мое поколение выросло на развалинах Варшавы, и я знаю войну только по рассказам. Пусть так и останется, а милитаристы пусть пользуются например дорожными работами…

***

8. Преобразование вращательного движения в поступательное.

Спираль Архимеда используется в механизмах, где необходимо преобразовать вращательное движение в поступательное — или наоборот. При вращении вокруг точки О спираль «выталкивает» отмеченную красным точку на отрезке к центру О и далее за эту точку. Чтобы понять, что мы получаем равномерное движение, достаточно вспомнить ситуацию, из которой мы исходили — муха равномерно ползет по вращающейся пластине. Пространственная версия этой кривой использовалась Архимедом для построения водяного насоса. Возможно, его изобретение улучшило судьбу нескольких рабов — вместо того, чтобы носить воду в металлических ведрах, раб только включал выключатель насоса, и электричество делало работу. Взгляд на часы и: «Как хорошо, что есть помпа. Я доберусь домой на трамвае к трансляции Олимпийских игр… Мне не нужно беспокоиться о еде — мой хозяин только что принес в жертву богам сотню быков за открытие важной теоремы, так что будет много бургеров…»

Я часто думаю, как древние греки смогли открыть столько математики не только без компьютера, но без бумаги и карандаша! Но это другая тема.