Уравнения, коды, шифры, математика и поэзия

Михал Шурек говорит о себе: «Родился в 1946 году. Я окончил Варшавский университет в 1968 году и с тех пор работаю на факультете математики, информатики и механики. Научная специализация: алгебраическая геометрия. Недавно я имел дело с векторными расслоениями. Что такое векторный пучок? Итак, векторы нужно крепко связать ниткой, и у нас уже есть пучок. Мой друг, физик, Антони Сым заставил меня вступить в “Юный техник” (он признает, что должен получать гонорары с моих гонораров). Я написал несколько статей, а потом остался, и с 1978 года каждый месяц можно читать, что я думаю о математике. Я люблю горы и, несмотря на лишний вес, стараюсь ходить пешком. Я считаю, что учителя важнее всего. Я бы держал политиков, независимо от их вариантов, в строго охраняемом месте, чтобы они не могли сбежать. Кормил раз в день. Я нравлюсь одной собаке породы бигль из Тулека.

Уравнение — это что-то вроде шифра для математика. Решение уравнений, квинтэссенция математики, — это чтение зашифрованного текста. На это обратили внимание богословы с XNUMX века. Иоанн Павел II, знавший математику, несколько раз писал и упоминал об этом в своих проповедях – к сожалению, факты стерлись из моей памяти.

В школьной науке она представлена Пифагор как автор теоремы о некоторой зависимости в прямоугольном треугольнике. Так это стало частью нашей европоцентричной философии. И все же у Пифагора гораздо больше достоинств. Именно он наложил на своих учеников обязанность «познавать мир», от «что за этим холмом?» до изучения звезд. Вот почему европейцы «открыли» древние цивилизации, а не наоборот.

Некоторые читатели помнят «узоры Vièteа также”; многие читатели постарше помнят сам термин со школы и примерно то, что вопрос появился в квадратных уравнениях. Эти закономерности “идеологически” как бы шифрование информация.

Неудивительно: один Франсуа Виете (1540-1603) занимался криптографией при дворе Генриха IV (первого французского короля из династии Бурбонов, 1553-1610) и сумел взломать шифр, использовавшийся англичанами в войне с Францией. Так что он сыграл ту же роль, что и польские математики (во главе с Марианом Реевским), открывшие перед Второй мировой войной секреты немецкой шифровальной машины «Энигма».

Модная тема

Точно. Тема «коды и шифры» уже давно стала модной в преподавании. Я уже писал об этом несколько раз, а через два месяца будет еще одна серия. В этот раз пишу под впечатлением от фильма о войне 1920 года, где победа во многом была обусловлена ​​взломом кодекса большевистских войск командой под руководством тогда еще молодого Вацлав Серпинский (1882-1969). Нет, это еще не Enigma, это просто знакомство. Помню сцену из фильма, где Юзеф Пилсудский (играет Даниил Ольбрыхский) говорит начальнику отдела шифров:

Расшифрованные сообщения несли важное сообщение: войска Тухачевского поддержки не получат. Вы можете атаковать!

Я знал Вацлава Серпинского (если можно так сказать: я был молодым студентом, он был известным профессором), посещал его лекции и семинары. Он производил впечатление иссохшего ученого, рассеянного, занятого своей дисциплиной и не видящего потустороннего мира. Он читал лекции конкретно, лицом к доске, не глядя на аудиторию… но чувствовал себя выдающимся специалистом. Так или иначе, у него были определенные математические способности — например, для решения задач. Есть и другие — ученые, относительно плохо разгадывающие головоломки, но глубоко понимающие всю теорию и способные инициировать целые области творчества. Нам нужны оба — хотя первый будет продвигаться быстрее.

Вацлав Серпинский никогда не говорил о своих достижениях в 1920 году. До 1939 года это определенно нужно было держать в секрете, а после 1945 года те, кто воевал с Советской Россией, не пользовались симпатией тогдашней власти. Мое убеждение, что ученые нужны, как армия, доказано: «на всякий случай». Вот президент Рузвельт звонит Эйнштейну:

Выдающийся русский математик Игорь Арнольд открыто и с грустью говорил, что война оказала большое влияние на развитие математики и физики (радиолокация и GPS тоже имели военное происхождение). Я не вдаюсь в моральный аспект применения атомной бомбы: здесь продление войны на год и гибель нескольких миллионов собственных солдат – там страдания невинных мирных жителей.

***

Убегаю в знакомые районы – к. Многие из нас играли с кодами, может в скаутинг, может просто так. Простые шифры, основанные на принципе замены букв другими буквами или другими числами, стандартно взламываются — если мы улавливаем только несколько подсказок (например, мы угадываем имя короля). Сегодня также помогает статистический анализ. Хуже, когда все переменчиво. Но хуже всего, когда нет регулярности. Рассмотрим код, описанный в «Приключениях бравого солдата Швейка». Возьмем книгу, например, «Всемирный потоп». Вот предложения на первой и второй странице.

Мы хотим закодировать слово «CAT». Открываем на странице 1 и соседней второй. Мы обнаруживаем, что на странице 1 буква К впервые появляется на 59-м месте. Находим пятьдесят девятое слово на противоположной, другой стороне. Это слово «а». Теперь буква О. Слева стоит 16-е слово, а шестнадцатое справа — «господин». Буква Т стоит на 95-м месте, если я правильно посчитал, а девяносто пятое слово справа — «о». Итак, КАТ = 1 ВЛАДЫКА О.

«Неотгадываемый» шифр, хотя и мучительно медленный как для шифрования, так и… для угадывания. Предположим, мы хотим передать букву M. Мы можем проверить, кодируем ли мы ее словом «Wołodyjowski». А после нас уже готовят тюремную камеру. Мы можем рассчитывать только на замену! Кроме того, контрразведка отмечает сообщения тайных сотрудников о том, что уже некоторое время заказчики охотно покупают первый том «Потопа».

Моя статья является вкладом в этот тезис: даже самые причудливые идеи математиков могут найти применение в широко понимаемой практике. Например, можно ли представить себе менее полезное математическое открытие, чем признак делимости… на 47?

Когда он нам понадобится в жизни? И если это так, будет легче попытаться разделить его. Если делит, то хорошо, если нет, то… вторично хорошо (мы знаем, что не делит).

Как делиться и зачем

После этого введения, давайте перейдем к. Знаете ли вы, читатели, какие-либо признаки делимости? Определенно. Четные числа заканчиваются на 2, 4, 6, 8 или ноль. Число делится на три, если сумма его цифр делится на три. Аналогично и с признаком делимости на девять – сумма цифр должна делиться на девять.

Кому это нужно? Я бы солгал, если бы убедил Читателя, что он годится для чего-то помимо… школьных заданий. Ну и еще особенность делимости на 4 (а что это такое, Читатель? Может быть, ты ею воспользуешься, когда захочешь узнать, на какой год приходится следующая Олимпиада…). А вот особенность делимости на 47? Это уже головная боль. Узнаем ли мы когда-нибудь, делится ли что-то на 47? Если да, то возьмем калькулятор и посмотрим.

Это. Вы правы, Читатель. И все же читайте дальше. Пожалуйста.

Признак делимости на 47: Число 100+ делится на 47 тогда и только тогда, когда 47 делится на +8.

Математик удовлетворённо улыбнётся: «Гы, хорошенькая». Но математика есть математика. Доказательства имеют значение, и мы обращаем внимание на их красоту. Как доказать нашу черту? Это очень просто. Вычтем из 100 + число 94 – 47 = 47 (2 -). Получаем 100+-94+47=6+48=6(+8).

Мы вычли число, которое делится на 47, поэтому, если 6 (+ 8) делится на 47, то и 100 +. Но число 6 взаимно простое с 47, а это означает, что 6 (+ 8) делится на 47 тогда и только тогда, когда оно равно + 8. Конец доказательства.

Давайте посмотрим Некоторые примеры.

8805685 делится на 47? Если мы действительно заинтересованы в этом, мы узнаем раньше, просто разделив нас, как нас учили в начальной школе. Так или иначе, теперь калькулятор есть в каждом мобильном телефоне. Разделенный? Да, частное 187355.

Что ж, давайте посмотрим, что нам говорит признак делимости. Отсоединяем две последние цифры, умножаем их на 8, прибавляем результат к «усеченному числу» и проделываем то же самое с полученным числом.

8805685 → 88056 + 8·85 = 88736 → 887 + 8·36 = 1175 → 11 + 8·75 = 611 → 6 + 8·11 = 94.

Мы видим, что 94 делится на 47 (частное равно 2), значит, и исходное число делится. Отлично. Но что, если мы продолжим веселиться?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Теперь мы должны остановиться. Сорок семь делится на 47, верно?

Нам действительно нужно остановиться? Что, если мы пойдем дальше? О боже, всякое бывает… Я опущу подробности. Может только начало:

47 → 0 + 8·47 = 376 → 3 + 8·76 = 611 → 6 + 8·11 = 94 → 0 + 8·94 = 752.

Но, к сожалению, вызывает такое же привыкание, как жевание семечек…

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

А, сорок семь. Это уже было. Что дальше? . Такой же. Числа идут в цикле следующим образом:

Это на самом деле интересно. Такое количество петель.

Два следующие примеры.

Мы хотим узнать, делится ли 10017627 на 47. Зачем нам нужны эти знания? Мы помним принцип: горе знанию, которое не помогает знающему. Знания всегда есть для чего-то. Это будет за что-то, но сейчас я не буду объясняться. Еще несколько счетов:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

«Он сменил дядю с топора на палку». Что мы получаем от всего этого?

Что ж, давайте повторим ход разбирательства. То есть продолжим делать это (то есть слово “итерировать”).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Остановим игру, поделим, как в школе (или на калькуляторе): 235 = 5 · 47. Бинго. Исходное число 10017627 делится на 47.

Браво нам!

Что, если мы пойдем дальше? Поверьте, вы можете это проверить.

И еще один интересный факт. Мы хотим проверить, делится ли 799 на 47. Мы используем функцию делимости. Отсоединяем две последние цифры, полученное число умножаем на 8 и прибавляем к тому, что осталось:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Что мы имеем? Число 799 делится на 47 тогда и только тогда, когда 799 делится на 47? Да, все верно, но никакой математики для этого не надо!!! Масло маслянистое (по крайней мере, это масло маслянистое).

Про лист, пиратов и конец шуткам!

Еще две притчи. Где лучше всего спрятать лист? Ответ очевиден: в лесу! Но как его потом найти?

Второго мы знаем из книг о пиратах, которые читали давным-давно. Пираты составили карту места, где они закопали сокровище. Другие либо украли его, либо выиграли в бою. Но на карте не было указано, для какого острова он предназначен. И ищите себя! Разумеется, пираты с этим (пыткой) справились — шифры, о которых я говорю, тоже можно извлечь такими методами.

Конец шуткам. Читатель! Создаем шифр. Я тайный шпион и использую “Юного техника” в качестве контактного ящика. Пересылайте мне зашифрованные сообщения следующим образом.

Сначала преобразуйте текст в строку чисел, используя код: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Как видите, мы не используем польские диакритические знаки (т.е. без ą, ę, ć, ń, ó, ś) и непольские q, v — но непольский x остался на всякий случай. Включим еще 25 как пробел (пробел между словами). О, самое главное. Пожалуйста, примените код № 47.

Вы знаете, что это означает. Вы идете к другу математику.

Глаза друга расширились от удивления.

Ты отвечаешь гордо:

Математик наделяет вас этой чертой… и вы уже знаете, что для шифрования используется неприметная на вид функция

потому что такой шаблон является описанным действием

100 + → + 8.

Итак, когда вы хотите узнать, что означает число, например, 77777777 в зашифрованном сообщении, вы используете функцию

100 + → + 8

пока не получите число от 1 до 25. Теперь посмотрите на явный буквенно-цифровой код. Посмотрим: 77777777 →… Оставляю это Вам как задание. Но давайте посмотрим, какую букву скрывает 48? Давай читать:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Тогда получим по очереди:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Конца не видно. Только после шестидесятого (!) раза появится число меньше 25. Это 3, значит, 48 — это буква С.

И что нам дает это сообщение? (Хочу напомнить, что мы используем кодовый номер 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.

Ну, подумаешь, что тут сложного, какие-то счета. Мы начали. В начале 80. Известное правило:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Это продолжается так:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Есть! Первая буква сообщения – К. Уф, легко, но сколько времени это займет?

Посмотрим также, сколько хлопот нам придется иметь с числом 1234567. Только на шестнадцатый раз мы получим число меньше 25, а именно 12. Значит, 1234567 — это L.

Хорошо, скажет кто-то, но эта арифметическая операция настолько проста, что ее программирование на компьютере сразу же сломает код. Да, это правда. Это простые расчеты для компьютера. Идея с общедоступный шифр и речь идет также о том, чтобы сделать расчеты сложными для компьютера. Пусть работает хоть сто лет. Расшифрует ли он сообщение? Не важно. Это не будет иметь значения долгое время. Это (более или менее) то, что касается общедоступных шифров. Их можно сломать, если работать очень долго… пока новости не перестанут быть актуальными.

 оно всегда рождало «противооружие». Все началось с меча и щита. Секретные службы платят одаренным математикам огромные суммы за изобретение методов шифрования, которые компьютеры (в том числе созданные нами) не смогут взломать в XNUMX веке.

Двадцать второй век? Не так уж и сложно узнать, что на свете уже есть много людей, которые будут жить в этом прекрасном веке!

О, ага? А что, если я попрошу (меня, Секретного Сотрудника, с которым связался “Юный Техник”) для шифрования с кодовым номером 23? Или 17? Простой:

Пусть нам никогда не придется использовать математику для таких целей.

***

Название статьи о поэзии. Какое ей до этого дело?

Как что? Поэзия тоже шифрует мир.

Как?

Своими методами – похожими на алгебраические.