Путешествие в нереальный мир математики

Я написал эту статью в одну из сред, после лекции и практики в колледже компьютерных наук. Я защищаюсь от критики учеников этой школы, их знаний, отношения к науке и самое главное: навыков обучения. Этому… их никто не учит.

Почему я так защищаюсь? По простой причине – я в таком возрасте, когда, наверное, окружающий мир еще не понят. Может, я учу их запрягать и распрягать лошадей, а не водить машину? Может, я учу их писать гусиным пером? Хоть я и лучшего мнения о человеке, я считаю, что я “следую”, но…

До недавнего времени в средней школе говорили о комплексных числах. И именно в эту среду я пришел домой, уволился — почти никто из студентов еще не узнал, что это такое и как пользоваться этими цифрами. Некоторые смотрят на всю математику, как гусь на расписную дверь. Но также искренне удивился, когда мне рассказали, как научиться. Проще говоря – каждый час лекции – это два часа занятий дома: чтение учебника, первоначальное обучение решению задач по заданной теме и т.д. Подготовившись таким образом, мы приходим на упражнения, где все совершенствуем… Приятно студенты, видимо, думали, что сидеть на лекции – чаще всего глядя в окно – уже гарантирует вхождение знаний в голову.

Останавливаться! Достаточно этого. Опишу свой ответ на вопрос, который я получил во время занятий со стипендиатами Национального детского фонда – учреждения, которое поддерживает талантливых детей со всей страны. Вопрос (точнее предложение) был:

— Не могли бы вы рассказать нам что-нибудь о нереальных числах?

— Конечно, — ответил я. 

Реальность чисел

«Друг — это другой я, дружба — это соотношение чисел 220 и 284», — говорил Пифагор. Дело здесь в том, что сумма делителей числа 220 равна 284, а сумма делителей числа 284 равна 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Заметим кстати, что библейский Иаков подарил Исаву 220 овец и баранов в знак дружбы (Бытие 32:14) .

Еще одно интересное совпадение между числами 220 и 284 заключается в следующем: семнадцать старших простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, и 59.

Их сумма 2×220, а сумма квадратов 59×284.

Первый. Нет понятия “действительное число”. Это похоже на то, как после прочтения статьи о слонах вы спрашиваете: «А теперь мы собираемся попросить неслонов». Есть целые и нецелые, рациональные и иррациональные, но нереальных нет. Конкретно: числа, которые не являются действительными, не называются недействительными. В математике есть много типов «чисел», и они отличаются друг от друга, как — возьмем зоологическое сравнение — слон и дождевой червь.

Во-вторых, мы будем выполнять операции, которые, как вы, возможно, уже знаете, запрещены: извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. Что ж, математика преодолеет такие барьеры. Хотя есть ли в этом смысл? В математике, как и в любой другой науке: войдет ли теория навсегда в хранилище знаний, зависит… от ее применения. Если оно бесполезно, то попадает в помойку, то в какой-нибудь хлам истории знания. Без цифр, о которых я говорю в конце этой статьи, невозможно развивать математику. Но давайте начнем с некоторых мелочей. Что такое реальные числа, вы знаете. Они заполняют числовую строку плотно и без пропусков. Вы также знаете, что такое натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. – все они не уместится в памяти даже самого великого. У них тоже есть красивое название: натуральные. У них так много интересных свойств. Как вам это:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

«Естественно интересоваться натуральными числами», — сказал Карл Линденхольм, а Леопольд Кронекер (1823–1891) выразился кратко: «Бог создал натуральные числа — все остальное — дело рук человека!» Дроби (называемые математиками рациональными числами) также обладают удивительными свойствами:

и в равенстве:

можно, начиная с левой стороны, потереть плюсы и заменить их знаками умножения — и равенство останется верным:

И так далее.

Как известно, для дробей a/b, где a и b — целые числа, а b ≠ 0, говорят рациональное число. Но только по-польски они себя так называют. Говорят на английском, французском, немецком и русском языках. рациональное число. На английском языке: рациональные числа. Иррациональные числа это иррационально, иррационально. Мы также говорим по-польски об иррациональных теориях, идеях и делах — это безумие, воображаемое, необъяснимое. Говорят, что женщины боятся мышей — не правда ли, насколько это иррационально?

В древности у чисел была душа. Каждый что-то означал, каждый что-то символизировал, каждый отражал частицу той гармонии Мироздания, то есть, по-гречески, Космоса. Само слово «космос» означает именно «порядок, порядок». Наиболее важными были шесть (совершенное число) и десять, сумма последовательных чисел 1+2+3+4, составленных из других чисел, символика которых сохранилась до наших дней. Так Пифагор учил, что числа есть начало и источник всего, и только открытие иррациональные числа обратил пифагорейское движение в сторону геометрии. Мы знаем рассуждение из школы, что

√2 — иррациональное число

Ибо предположим, что есть: и что эта дробь не может быть сокращена. В частности, и p, и q нечетны. Возведем в квадрат: 2q²=p². Число p не может быть нечетным, так как тогда p² тоже было бы, а в левой части равенства стоит кратное 2. Значит, p четно, т. е. p = 2r, значит, p²=4r². Сократим уравнение 2q²=4r² на 2. Получаем q²=2r² и мы видим, что q также должно быть четным, а мы предположили, что это не так. Полученное противоречие завершает доказательство – эту формулу часто можно встретить в каждой математической книге. Это косвенное доказательство — излюбленный прием софистов.

Эта безмерность не могла быть понята пифагорейцами. Все должно уметь описываться числами, а диагональ квадрата, которую любой может провести палочкой по песку, не имеет, то есть измерима, длины. «Наша вера была напрасной», — как будто говорят пифагорейцы. Как так? Это как-то… иррационально. Союз пытался спастись сектантскими методами. Любой, кто посмеет раскрыть свое существование иррациональные числа, должен был быть наказан смертью, и, по-видимому, первый приговор привел в исполнение сам мастер.

Но «мысль прошла невредимой». Наступил золотой век. Греки победили персов (Марафон 490, Плахе 479). Укрепилась демократия, возникли новые центры философской мысли и новые школы. Последователи пифагорейства все еще боролись с иррациональными числами. Некоторые проповедовали: мы не постижим этой тайны; мы можем только созерцать это и восхищаться Uncharted. Последние были более прагматичны и не уважали Тайну. В то время появились две мысленные конструкции, позволившие понять иррациональные числа. То, что мы сегодня достаточно хорошо понимаем их, принадлежит Евдоксу (V век до н. э.), и лишь в конце XIX века немецкий математик Рихард Дедекинд дал теории Евдокса должное развитие в соответствии с требованиями строгая математическая логика.

Масса цифр или пытки

Смогли бы вы жить без чисел? Если бы даже, какая это была бы жизнь… Нам бы пришлось идти в магазин, чтобы купить обувь палочкой, которой мы предварительно измерили длину стопы. “Хотелось бы яблок, ах, вот оно!” – мы бы показывали продавцов на рынке. «Как далеко от Модлина до Новы-Двур-Мазовецкого»? “Довольно близко!”.

Числа используются для измерения. С их помощью мы также выражаем многие другие понятия. Например, масштаб карты показывает, насколько уменьшилась площадь страны. Шкала «два к одному», или просто 2, выражает тот факт, что что-то было увеличено вдвое. Скажем математически: каждой однородности соответствует число – ее масштаб.

Задание. Мы сделали ксерографическую копию, увеличив изображение в несколько раз. Затем увеличенный фрагмент снова увеличили в b раз. Какова общая шкала увеличения? Ответ: a × b, умноженный на b. Эти масштабы необходимо умножить. Число «минус один», -1, соответствует одной точности, которая центрирована, то есть повороту на 180 градусов. А какое число соответствует повороту на 90 градусов? Нет такого номера. Оно есть, оно есть… вернее, скоро будет. Вы готовы к моральным пыткам? Наберитесь смелости и извлеките квадратный корень из «минус один». Я слушаю? Что ты не можешь? В конце концов, я сказал тебе быть храбрым. Вытащить это! Эй, ну, тяни, тяни… Я помогу… Вот: −1 Теперь, когда он у нас есть, давайте попробуем его использовать… Конечно, теперь мы можем извлекать корни из всех отрицательных чисел, например .:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

– «независимо от душевных мук, которые это влечет за собой». Это то, что написал Джироламо Кардано в 1539 году, пытаясь преодолеть умственные трудности, связанные с — как это вскоре стало называться — мнимые величины. Он считал такие вот…

…Задание. Разделить 10 на две части, произведение которых равно 40. Помнится, из предыдущего эпизода он писал примерно так: Заведомо невозможно. Однако поступим так: 10 разделим на две равные части, каждая равна 5. Перемножим их – получилось 25. Из полученных 25 теперь вычтем 40, если угодно, и получится -15. Теперь посмотрите: √-15, добавленное и вычтенное из 5, дает вам произведение 40. Это числа 5-√-15 и 5 + √-15. Проверка результата была проведена Cardano следующим образом:

«Независимо от душевных мук, которые это влечет за собой, умножьте 5 + √-15 на 5-√-15. Получаем 25 – (-15), что равно 25 + 15. Итак, произведение равно 40…. Это действительно сложно».

Ну, сколько это: (1 + √-1) (1-√-1)? Давайте умножим. Помните, что √-1 × √-1 = -1. Здорово. Теперь более сложная задача: от a + b√-1 до ab√-1. Что вышло? Безусловно, так: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Что в этом интересного? Например, то, что мы умеем разлагать на множители выражения, которых мы «раньше не знали». Формула сокращенного умножения для²-b² вы наверняка помните и формулу для²+b² этого не было, потому что этого не могло быть. В области действительных чисел многочлен²+b² это неустранимо. Обозначим «наш» квадратный корень из «минус один» буквой i.²= -1. Это «нереальное» простое число. И это то, что описывает поворот самолета на 90 градусов. Почему? Ведь и²= -1, а объединение одного поворота на 90 градусов и другого такого же поворота дает поворот на 180 градусов. Какой вид вращения описывается? Понятно – поворот на 45 градусов. А что обозначает число -i? Это немного сложнее:

(-я)² = -я × (-я) = + я² = -1

Итак, -i также описывает поворот на 90 градусов, только в направлении, противоположном вращению i. Какой из них левый, а какой правый? Вы должны записаться на прием. Мы предполагаем, что число i задает вращение в направлении, которое математики считают положительным: против часовой стрелки. Число -i описывает вращение в направлении движения указателей.

Но существуют ли такие числа, как i и -i? Являются! Мы просто воплотили их в жизнь. Я слушаю? Что они существуют только в нашей голове? Ну чего ожидать? Все остальные числа также существуют только в нашем уме. Нам нужно проверить, выживут ли наши новорождённые номера. Точнее, логична ли конструкция и будут ли они для чего-то полезны. Пожалуйста, поверьте мне на слово, что все в порядке и что эти новые номера действительно полезны. Числа типа 3+i, 5-7i, в более общем виде: a+bi называются комплексными числами. Я показал вам, как вы можете получить их, вращая самолет. Их можно вводить по-разному: как точки плоскости, как некие полиномы, как некие числовые массивы… и каждый раз они одни и те же: уравнение x² +1=0 элемента нет… фокус-покус и так уже есть!!!! Будем радоваться и радоваться!!!

Конец тура

На этом наша первая экскурсия по стране ненастоящих чисел заканчивается. Из других неземных чисел упомяну еще те, которые имеют бесконечно много цифр впереди, а не сзади (они называются 10-адическими, для нас более важными являются p-адические, где p — простое число), например X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Давайте посчитаем X, пожалуйста². Так как? Что, если мы вычислим квадрат числа, за которым стоит бесконечное количество цифр? Что ж, поступим так же. Узнаем, что Х² = Х.

Найдем другое такое число с бесконечным числом цифр впереди, удовлетворяющее уравнению. Подсказка: квадрат числа, оканчивающегося на шесть, также оканчивается на шесть. Квадрат числа, оканчивающегося на 76, также оканчивается на 76. Квадрат числа, оканчивающегося на 376, также оканчивается на 376. Квадрат числа, оканчивающегося на 9376, также оканчивается на 9376. Квадрат числа, оканчивающегося на XNUMX на … Есть также числа, которые настолько малы, что, будучи положительными, они остаются меньше любого другого положительного числа. Они настолько крошечные, что иногда достаточно возвести их в квадрат, чтобы получить ноль. Существуют числа, не удовлетворяющие условию a × b = b × a. Есть также бесконечные числа. Сколько существует всех натуральных чисел? Бесконечно много? Да, но сколько? Каким числом это можно выразить? Ответ: наименьшее из бесконечных чисел; он помечен красивой буквой: А и дополнен нулевым индексом А₀ , алеф-ноль.

Есть также числа, о существовании которых мы не знаем… или в существование которых можно верить или не верить, как вам угодно. И говоря о подобном: я надеюсь, вам все еще нравятся Нереальные Числа, Числа Видов Фантазии.